KMP算法簡單應用

K（看）M（毛）P（片）算法最常用在字符串匹配。給定一個長的字符串（target string）和一個短的字符串（pattern string）,要求判斷pattern string是否是target string的子串，如果是，則返回子串的首個字符的下標；如果否，則返回-1。

解決這個問題最常想到的辦法就是brutal force,即從target string第一個字符開始與pattern string比較，如果相等則比較target string和pattern string的下一個字符，如果不等則返回到target string中相等的字符的下一個字符。換句話說，假設我們用target和pattern分別表示兩個字符串的指針，那么每一次比較不管兩個string匹配到何種程度，只要不是完全匹配（即匹配完成），那么target永遠只能增加1，這個算法的復雜度為O（mn）.(m=strlen(target string),n=strlen(pattern string)).

以下是這個算法的C代碼。

int strstr(char *target, char *pattern)
{
　　int i,j;
　　for(i=0;;i++)
    {
        for(j=0;;j++)
        {
            if(pattern[j]==0)return i;
            if(target[i+j]==0)return -1;
            if(target[i+j]!=pattern[j])break;
        }
    }
}

導致這個算法時間復雜的關鍵，在於我們每次只能將target指針加一，而不能充分利用之前已匹配部分的信息。一個很好的例子由http://kenby.iteye.com/blog/1025599 給出，事實上我們可以通過利用已匹配部分的信息，讓每次比較失敗后target跳過多個位置。

下面給出KMP的代碼再給出一些解釋。

int* overlay(char *str)
{
    int *a,len=strlen(str),i,index;
    a[0]=-1;//美好的約定
    a=(int *)calloc(len,sizeof(int));
    for(i=1;i<len;i++)
    {
        index=a[i-1];//上一個
        while(index>=0&&a[index+1]!=a[i])
        {
            index=a[index];
        }
        if(a[index+1]==a[i])
        {
            a[i]=index+1;
        }
        else a[i]=-1;
    }
    return a;
}

int strstr(char *target,char *pattern)
{
    int i,j,*a,len1=strlen(target),len2=strlen(pattern);
    a=overlay(pattern);
    for(i=0,j=0;i<len1&&j<len2;)
    {
        if(target[i]==pattern[j])
        {
            i++;
            j++;
        }
        else if(j==0)i++;//若第一個字符就不相等，則對target的指針加1即可
        else j=a[j-1]+1;
    }
    if(j==len2)return i-j;
    else return -1;
}

overlay函數是用遞推求出pattern串每一個位置對應的覆蓋值，算法在http://blog.csdn.net/power721/article/details/6132380有解釋，不贅述。覆蓋值數組的含義在上述博客中沒有解釋得很清楚，我舉個例子。

首先假設這個字符串名為str。首字符的覆蓋值是-1，這是約定。從第二個字符開始，我們看到b的覆蓋值是-1，什么意思呢，意思就是在b之前的子串（包括b），不存在k滿足str[0]str[1]...str[k-1]str[k]=str[1-k]str[2-k]...str[1]。接下來，第三個字符a的覆蓋值為0，表示在a之前的子串（包括a）,存在k=0使得str[0]str[1]...str[k-1]str[k]=str[2-k]str[3-k]...str[2]。第五個字符b的覆蓋值為1，表示在b之前的子串（包括b），存在k=1使得str[0]str[1]...str[k-1]str[k]=str[4-k]str[5-k]...str[4]。

至於overlay函數的遞推求法，博客里有說明遞推過程，我也是看了好一會才看清楚orz...下面配個圖，圖里中括號里面是相同的字符串，小括號里面也是相等的字符串，以此第三次，第四次一直往下找...大家才思敏捷，一定可以看得懂。

 

其余的東西在以上兩篇博客都講得很清楚，我也不再贅述。算法導論里有關於KMP算法攤還分析的一些證明，在不同的地方，上文所述的覆蓋值的含義有可能有一點點差別，命名也有不同，但總的意思和算法都是差不多的。

部分代碼參考了https://leetcode.com/problems/implement-strstr/?tab=Description