kmp算法

kmp

為了實現復雜度低的字符串匹配算法，將依次順序的掃描算法O(n*m)的復雜度降到O(n+m) 的算法就有了kmp(knut-Morris-Pratt算法)。

字符串匹配，簡單的來說就是在母串S中尋找是否含有模式串T，這種字符串匹配是計算機的基本任務之一。

kmp算法不易理解，網上有很多解釋，讀起來都很難以理解，看到了一個很好地總結http://kb.cnblogs.com/page/176818/  現在真正的看懂理解了這種算法，下面在結合這篇博文的基礎上進一步講解一下基本kmp實現過程中的代碼如何理解，和kmp的優化如何實現。

首先簡單介紹一下博文中的對kmp的理解：

博文中講解的順序查找的算法和優化思想不再贅述，對博文中的部分匹配值得理解做詳細描述，引入next數組的概念，要理解

1. 正確理解前綴和后綴的意思，eg： ABCD的前綴分別是A， AB ， ABC ， ABCD

后綴分別是 D ， CD ， BCD ， ABCD。注意，千萬不可以把后綴理解成從后往前讀的字符子串，這里明確一點：前綴一定是要包含當前字母前面的所有的字符，后綴一定要包含當前字符后面的所有的字符，這樣對於next數組后面的解釋才能正確理解其在整個算法中的作用。

2. 從next數組的定義上來理解：next[i]表示的是i位置前的串中，所有前綴和后綴中最長共有元素的長度，也可以說是共有元素長度中的最大值，引用博文中也有具體舉例。（注意：同引用博文不同的是這里我們為了方便代碼書寫，所有的串下標默認從0開始編號，所以請仔細理解公共長度，這樣方便與第二種next的用法上的理解對應）

在理解了前綴和后綴后進一步的解釋后，next數組為什么要這么定義，首先，簡單的理解就是i位置前的next[i]個字符和從開頭數的next[i]個字符是一樣的，那么匹配的時候如果是從i 處失配了，那么說明前面的所有部分都是已經匹配好的，那么現在如果前面的next[i]個字符和最后匹配好的字符是完全一樣的就可以直接將這next[i]個放到這后面next[i]個位置上，即從第next[i]個位置從新開始匹配，那么就不需要移動母串的指針，直接將子串滑動到第next[i]的位置。下面看一個例子

母串      ABCABCFGABABD

模式串   ABCABD

標紅地方失配了，而失配處前面的AB是已經匹配好的，根據前面的講解，模式串應該滑動到下面的位置

母串      ABCABCFGABABD

模式串         ABCABD

2. 有了這些知識我們來理解next數組的另一種理解，即next數組在算法中具體應用的理解：next[i]表示在i處失配話將

當失配的時候模式串要定位在模式串的第next[i]的位置上，這里要注意到上面提到的理解公共長度的部分，公共長度，由於數組標號是從0開始的所以失配位置要是想從新定位，看上面的例子可以理解應該是定位在相同部分的后一個位置，而后一個位置的下標剛好是公共長度（自己仔細思考，不再贅述）

那么，問題來了，怎樣求next呢？（大致思路就是如何求最大的前綴和后綴的共有元素長）

我們先來給出代碼，然后再一點點理解

int kmp(char* s , char* t)
{
    int len1 , len2;
    len1 = strlen(s);
    len2 = strlen(t);
    int i , j = 0 , tm = next[0] = -1;
    //求next數組
    while(j<len2-1){
        if(tm<0||t[j]==t[tm])
            next[++j] = ++tm;
        else tm = next[tm];
    }
    //匹配
    for( i=j=0 ; i < len1 && j < len2 ; )
    {
        if(j<0||s[i]==t[j]) i++,j++;
        else j = next[j];
    }
    if(j<len2) return 0;//如果沒有找到要返回0
    return i-j;
}

 

 可以看到kmp算法的代碼很短，我們先來分析求next數組的部分

 

//求next數組
    while(j<len2-1){//依次求出模式串中每一個位置上的next值,循環j-2次即可，因為每次j是先++后處理的，相當於這個循環求出了下標從1到n-1位置的next值，下標為0的已經初始化時候定義過了
        if(tm<0||t[j]==t[tm])
            next[++j] = ++tm;
        else tm = next[tm];
    }

測試（可輸出）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
int next[1500];
int i , j = 0;
int tm = next[0] = -1;
int get_next(char* t)
{
    int len = strlen(t);
    while(j<len-1){
        if(tm<0||t[j]==t[tm])//tm<0是為了當找不到任何前綴等於后綴，而且不是字符串第一個字符的時候next值是0
            next[++j] =++tm;//j和tm先加1再賦值，保證每次比較的字符串都不包含最后一位
        else tm = next[tm];//如果這一位適配了，那么說明失配的字符前面的是已經匹配好的，然后要找失配位置的前面的字符串的next，即失配前的字符串中前綴等於后綴的長度
    }
}
int main()
{
    char s[10];
    scanf("%s",s);
    get_next(s);
    for(int i= 0 ;i < strlen(s);i++)
        printf("%d ",next[i]);
    puts("");
    return 0;
}

現在來分析一下求next主要代碼

if(tm<0||s[j]==s[tm]) {j++,tm++;　　next[j]==tm;}

else tm = next[tm];

舉例來說：其實可以將求next的過程看成是第二次的kmp匹配過程。

  abcabfabcabg...

開始j定位到abcabfabcabg...

tm = -1,然后j和tm先++，然后就next[1] = 0——相應的對應b前面的字符串的公共前后綴長度為0，注意這里next[0]= -1是初始化了的；

然后比較abcabfabcabg...發現不匹配，然后讓tm = next[tm]，這里不易理解這個語句的用途，下面一直分析，分析到

當要比較abcabfabcabg...發現不匹配，這時候tm = 5 ; j = 11;發現不匹配，由於next的連續性，所以從第一個字符開始到f的所有字符，和從g前面數相同數目的字符肯定是匹配好的，這里要仔細理解next數組的含義，即前綴和后綴的公共最大長度，所以這里找f前面的字符的next數組，這里表示的是f前面的

abcabfabcabg...由於g前面的和f前面的是已經匹配好的所以粉色的表示f的已匹配的前綴，即長度為next[5]的長度，肯定等於黃色的ab（根據next定義）也定於綠色的ab（由於g和f之前是匹配好的）那么就相當與是ab在f和g之前就不用再考慮了，下次比較的時候就是g和橘黃色的c開始比較了

那么問題自然來了，有人會問如果串時這樣的呢。。。。。注釋1；

abcabfabcaeg...那么我們要想其實在綠色的部分已經失配了，即當tm = 4 ; j = 10 ; 的時候就已經失配了，那么tm 要跳到next[4] = 1 ，指向黃色位置

然后下次是tm = 1和j = 10 比較，即每次都是tm 向前跳而j 不變，然后發現tm = 1和tm = 10仍然不一樣，所以跳到tm = next[tm] = 0 ,仍然失配，然后跳到tm = -1 ；

所以串在匹配的時候從abcabfabcabg...只要是一失配就向前跳一直跳到-1或者是滿足注釋1的地方，所以，只要是tm和j比較的時候一定是可以保證tm前面到串開始 和 從j前面的相同個數的字符是完全相同的。

現在就可以理解了next的數組了，如果不能理解，請再仔細閱讀一遍，仔細思考。

 

下面我們來說一下一個簡單的優化

假設在模式串的第i個位置失配，並且t[i] = t[next[i]]， 那么令j= next[j]時依然失配，所以此時優化方法是令next[j] = next[next[j]].代碼如下

int kmp(char* s , char* t)
{
    int len1 , len2;
    len1 = strlen(s);
    len2 = strlen(t);
    int i , j = 0 , tm = next[0] = -1;//初始化為-1為了，當第一個都不匹配的
    //求next數組
    while(j<len2-1){//依次求出模式串中每一個位置上的next值,循環j-2次即可，因為每次j是先++后處理的，相當於這個循環求出了下標從1到n-1位置的next值，下標為0的已經初始化時候定義過了
        if(tm<0||t[j]==t[tm]){
            ++j;++tm;
            if(next[j]==next[tm]) tm = next[tm];//優化
            next[j] = tm;
        }
        else tm = next[tm];
    }
    //匹配
    for( i=j=0 ; i < len1 && j < len2 ;)
    {
        if(j<0||s[i]==t[j]) i++,j++;
        else j = next[j];
    }
    if(j<len2) return 0;//如果沒有找到要返回0
    return i-j;
}

 

//求next數組優化代碼
 8     while(j<len2-1){//依次求出模式串中每一個位置上的next值,循環j-2次即可，因為每次j是先++后處理的，相當於這個循環求出了下標從1到n-1位置的next值，下標為0的已經初始化時候定義過了
 9         if(tm<0||t[j]==t[tm]){
10             ++j;++tm;
11             if(next[j]==next[tm]) tm = next[tm];//優化
12             next[j] = tm;
13         }
14         else tm = next[tm];
15     }
16     //匹配

 添加：

注意在next是c++庫里已經定理的名字，所以如果寫next會報ce，所以把開頭大寫比較好。