【BZOJ1095】【ZJOI2007】捉迷藏 [動態點分治]

　　捉迷藏 Jiajia和Wind是一對恩愛的夫妻，並且他們有很多孩子。某天，Jiajia、Wind和孩子們決定在家里玩捉迷藏游戲。
　　他們的家很大且構造很奇特，由N個屋子和N-1條雙向走廊組成，這N-1條走廊的分布使得任意兩個屋子都互相可達。
　　游戲是這樣進行的，孩子們負責躲藏，Jiajia負責找，而Wind負責操縱這N個屋子的燈。
　　在起初的時候，所有的燈都沒有被打開。
　　每一次，孩子們只會躲藏在沒有開燈的房間中，但是為了增加刺激性，孩子們會要求打開某個房間的電燈或者關閉某個房間的電燈。
　　為了評估某一次游戲的復雜性，Jiajia希望知道可能的最遠的兩個孩子的距離（即最遠的兩個關燈房間的距離）。
　　我們將以如下形式定義每一種操作：
　　C(hange) i 改變第i房間的照明狀態，若原來打開，則關閉；若原來關閉，則打開。
　　G(ame) 開始一次游戲，查詢最遠的兩個關燈房間的距離。

Input

　　第一行包含一個整數N，表示房間的個數，房間將被編號為1,2,3…N的整數。
　　接下來N-1行每行兩個整數a, b，表示房間a與房間b之間有一條走廊相連。
　　接下來一行包含一個整數Q，表示操作次數。
　　接着Q行，每行一個操作，如上文所示。

Output

　　對於每一個操作Game，輸出一個非負整數，表示最遠的兩個關燈房間的距離。若只有一個房間是關着燈的，輸出0；若所有房間的燈都開着，輸出-1。

Sample Input

　　8
　　1 2
　　2 3
　　3 4
　　3 5
　　3 6
　　6 7
　　6 8
　　7
　　G
　　C 1
　　G
　　C 2
　　G
　　C 1
　　G

Sample Output

　　4
　　3
　　3
　　4

HINT

　　對於100%的數據， N ≤100000, M ≤500000。

Main idea

　　給定一棵樹，有0點或者1點，每次查詢最遠的兩個1點之間的距離，需要支持修改0和1。

Solution

　　我們先觀察一下數據，由於n<=10^5，所以O(n^2)的做法不可行。我們先考慮如何靜態查詢，首先我們第一反應想到了樹形DP，然后發現這種方法無法優化。考慮一下有什么方法是log級別的呢？我們想到了點分，靜態點分的做法就是每次取出重心，然后查詢最深的1點的深度即可，要如何優化呢？發現如果點分可以動態實現的話就可以AC了。那么現在確定了算法：動態點分治。
　　我們先從點分的角度來剖析一下，點分其實就相當於每次找到重心，處理和重心有關的路徑，然后把重心割掉，將樹分為多個小塊，這樣將所有路徑上的信息存到了重心上，降低規模處理問題，有效降低復雜度。那么動態點分治就相當於用線段樹處理序列問題一樣，在分治的框架上加上了對於每個點的信息維護，對於每個點用堆來維護信息，這樣來實現信息的維護與查詢。
　　我們分幾步來實現：
　　1. 建立“重心樹”：我們發現我們在點分中重心存着路徑的信息，所以我們只要維護跟重心有關的信息就可以了，考慮到分治過程的性質，所以修改了一個點，只會影響到這個點作為一個重心時以上的重心（以下稱為“父重心”），所以我們先根據找重心的過程建立一棵“重心樹”，一個點（作為重心時）隔開后得到的若干棵子樹中的每一個重心的父重心就是這個點（這個點稱為“子重心”），所以可以證明這棵樹的深度是log級別的。每次只需要修改這個點在重心樹中到根的路徑上的點。
　　2. 構建可刪堆：由於我們要維護的是最長鏈，思考靜態的時候要維護的就是最大值，那么動態時我們就需要一個數據結構來維護這些最大值，支持更改與刪除等操作，我們想到了“堆”，由於這個堆是需要支持刪除操作的，這里討論一下怎么刪除：對於每個heap堆再開一個del堆，刪除一個點的時候將要刪除的值加入到del堆里面，然后調取top的時候如果heap堆和del堆的堆頂是一樣的同時pop掉，直到不一樣的時候的top就是真正的top了，其余操作類似。
　　3. 維護信息：對於每個點開兩個堆維護信息，第一個c堆維護“這個重心的子樹（包括這個重心）到父重心的距離”（求距離用LCA即可），第二個b堆維護“這個重心隔開后的幾個子樹中的最大深度（也就是子重心c堆的堆頂）”，然后全局開一個A堆維護“每一個b堆的最大值和次大值”，那么顯然答案就是堆A的top。
　　4. 修改操作：這里討論一下將1點變為0點的操作（0變為1類似），每次修改一個點顯然需要直接影響到c堆，將在重心樹中到根位置的中的點的c堆中刪除掉這個點的值，就會影響到b堆，然后最終影響到A堆。每次修改先刪除掉堆A的top，然后在父重心的b堆中刪除掉這個點的c堆的top，刪除掉這個c堆的top，然后再在父重心的b堆中加入這個點的c堆的top即可，修改的時候再維護一下A堆即可，處理一下細節。