【BZOJ1095】【ZJOI2007】捉迷藏 [动态点分治]

　　捉迷藏 Jiajia和Wind是一对恩爱的夫妻，并且他们有很多孩子。某天，Jiajia、Wind和孩子们决定在家里玩捉迷藏游戏。
　　他们的家很大且构造很奇特，由N个屋子和N-1条双向走廊组成，这N-1条走廊的分布使得任意两个屋子都互相可达。
　　游戏是这样进行的，孩子们负责躲藏，Jiajia负责找，而Wind负责操纵这N个屋子的灯。
　　在起初的时候，所有的灯都没有被打开。
　　每一次，孩子们只会躲藏在没有开灯的房间中，但是为了增加刺激性，孩子们会要求打开某个房间的电灯或者关闭某个房间的电灯。
　　为了评估某一次游戏的复杂性，Jiajia希望知道可能的最远的两个孩子的距离（即最远的两个关灯房间的距离）。
　　我们将以如下形式定义每一种操作：
　　C(hange) i 改变第i房间的照明状态，若原来打开，则关闭；若原来关闭，则打开。
　　G(ame) 开始一次游戏，查询最远的两个关灯房间的距离。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示房间的个数，房间将被编号为1,2,3…N的整数。
　　接下来N-1行每行两个整数a, b，表示房间a与房间b之间有一条走廊相连。
　　接下来一行包含一个整数Q，表示操作次数。
　　接着Q行，每行一个操作，如上文所示。

Output

　　对于每一个操作Game，输出一个非负整数，表示最远的两个关灯房间的距离。若只有一个房间是关着灯的，输出0；若所有房间的灯都开着，输出-1。

Sample Input

　　8
　　1 2
　　2 3
　　3 4
　　3 5
　　3 6
　　6 7
　　6 8
　　7
　　G
　　C 1
　　G
　　C 2
　　G
　　C 1
　　G

Sample Output

　　4
　　3
　　3
　　4

HINT

　　对于100%的数据， N ≤100000, M ≤500000。

Main idea

　　给定一棵树，有0点或者1点，每次查询最远的两个1点之间的距离，需要支持修改0和1。

Solution

　　我们先观察一下数据，由于n<=10^5，所以O(n^2)的做法不可行。我们先考虑如何静态查询，首先我们第一反应想到了树形DP，然后发现这种方法无法优化。考虑一下有什么方法是log级别的呢？我们想到了点分，静态点分的做法就是每次取出重心，然后查询最深的1点的深度即可，要如何优化呢？发现如果点分可以动态实现的话就可以AC了。那么现在确定了算法：动态点分治。
　　我们先从点分的角度来剖析一下，点分其实就相当于每次找到重心，处理和重心有关的路径，然后把重心割掉，将树分为多个小块，这样将所有路径上的信息存到了重心上，降低规模处理问题，有效降低复杂度。那么动态点分治就相当于用线段树处理序列问题一样，在分治的框架上加上了对于每个点的信息维护，对于每个点用堆来维护信息，这样来实现信息的维护与查询。
　　我们分几步来实现：
　　1. 建立“重心树”：我们发现我们在点分中重心存着路径的信息，所以我们只要维护跟重心有关的信息就可以了，考虑到分治过程的性质，所以修改了一个点，只会影响到这个点作为一个重心时以上的重心（以下称为“父重心”），所以我们先根据找重心的过程建立一棵“重心树”，一个点（作为重心时）隔开后得到的若干棵子树中的每一个重心的父重心就是这个点（这个点称为“子重心”），所以可以证明这棵树的深度是log级别的。每次只需要修改这个点在重心树中到根的路径上的点。
　　2. 构建可删堆：由于我们要维护的是最长链，思考静态的时候要维护的就是最大值，那么动态时我们就需要一个数据结构来维护这些最大值，支持更改与删除等操作，我们想到了“堆”，由于这个堆是需要支持删除操作的，这里讨论一下怎么删除：对于每个heap堆再开一个del堆，删除一个点的时候将要删除的值加入到del堆里面，然后调取top的时候如果heap堆和del堆的堆顶是一样的同时pop掉，直到不一样的时候的top就是真正的top了，其余操作类似。
　　3. 维护信息：对于每个点开两个堆维护信息，第一个c堆维护“这个重心的子树（包括这个重心）到父重心的距离”（求距离用LCA即可），第二个b堆维护“这个重心隔开后的几个子树中的最大深度（也就是子重心c堆的堆顶）”，然后全局开一个A堆维护“每一个b堆的最大值和次大值”，那么显然答案就是堆A的top。
　　4. 修改操作：这里讨论一下将1点变为0点的操作（0变为1类似），每次修改一个点显然需要直接影响到c堆，将在重心树中到根位置的中的点的c堆中删除掉这个点的值，就会影响到b堆，然后最终影响到A堆。每次修改先删除掉堆A的top，然后在父重心的b堆中删除掉这个点的c堆的top，删除掉这个c堆的top，然后再在父重心的b堆中加入这个点的c堆的top即可，修改的时候再维护一下A堆即可，处理一下细节。