BZOJ1096 [ZJOI2007]倉庫建設

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本文作者：ljh2000
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Description

　　L公司有N個工廠，由高到底分布在一座山上。如圖所示，工廠1在山頂，工廠N在山腳。由於這座山處於高原內
陸地區（干燥少雨），L公司一般把產品直接堆放在露天，以節省費用。突然有一天，L公司的總裁L先生接到氣象
部門的電話，被告知三天之后將有一場暴雨，於是L先生決定緊急在某些工廠建立一些倉庫以免產品被淋壞。由於
地形的不同，在不同工廠建立倉庫的費用可能是不同的。第i個工廠目前已有成品Pi件，在第i個工廠位置建立倉庫
的費用是Ci。對於沒有建立倉庫的工廠，其產品應被運往其他的倉庫進行儲藏，而由於L公司產品的對外銷售處設
置在山腳的工廠N，故產品只能往山下運（即只能運往編號更大的工廠的倉庫），當然運送產品也是需要費用的，
假設一件產品運送1個單位距離的費用是1。假設建立的倉庫容量都都是足夠大的，可以容下所有的產品。你將得到
以下數據：1：工廠i距離工廠1的距離Xi（其中X1=0）;2：工廠i目前已有成品數量Pi;:3：在工廠i建立倉庫的費用
Ci;請你幫助L公司尋找一個倉庫建設的方案，使得總的費用（建造費用+運輸費用）最小。

Input

　　第一行包含一個整數N，表示工廠的個數。接下來N行每行包含兩個整數Xi, Pi, Ci, 意義如題中所述。

Output

　　僅包含一個整數，為可以找到最優方案的費用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

HINT

在工廠1和工廠3建立倉庫，建立費用為10+10=20，運輸費用為(9-5)*3 = 12，總費用32。如果僅在工廠3建立倉庫，建立費用為10，運輸費用為(9-0)*5+(9-5)*3=57，總費用67，不如前者優。

【數據規模】

對於100%的數據， N ≤1000000。所有的Xi, Pi, Ci均在32位帶符號整數以內，保證中間計算結果不超過64位帶符號整數。

正解：DP+斜率優化

解題報告：

　　上午校內自測考我的題目，我就可以在機房里面刷題，嘿嘿嘿。

　　開始沒看到只能往編號大的運輸這個條件，結果一直沒想出來朴素DP怎么寫...

　　朴素的式子就是：$${f[i]=min(f[j]+Xi*{\sum_{k=j+1}^{i}P[k]} - \sum_{k=j+1}^{i}Xk*Pk } )+ Ci$$

　　這是n^2的做法，還是那句話，斜率優化的DP式子長得就是一副很可推的樣子，不妨設$${Si=\sum_{k=1}^{i}X[k]*P[k]}$$

　　$${SPi=\sum_{k=1}^{i}P[k]}$$

　　那么式子變成了： $${f[i]=min(f[j]+Xi*(SPi-SPj)- (Si-Sj) )+ Ci}$$

　　假設存在k<j，且j的決策比k優，即

　　 $${ (f[j]+Xi*(SPi-SPj)- (Si-Sj) )+ Ci < (f[k]+Xi*(SPi-SPk)- (Si-Sk) )+ Ci }$$

　　化簡可知：$${f[j]-f[k]+Sj-Sk < Xi*(SPj-SPk) }$$

　　把右邊除過去，就會發現

　　$${ \frac{f[j]-f[k]+Sj-Sk}{SPj-SPk} < Xi }$$

　　哇，這和昨天做的題目好像啊！這就是一個斜率式嘛

　　單調隊列維護斜率單增的下凸包，發現隊首不滿足上式了就pop掉，隊尾不滿足同樣pop。

 1 //It is made by ljh2000
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdio>
 6 #include <cmath>
 7 #include <algorithm>
 8 #include <ctime>
 9 #include <vector>
10 #include <queue>
11 #include <map>
12 #include <set>
13 using namespace std;
14 typedef long long LL;
15 const int inf = (1<<30);
16 const int MAXN = 1000011;
17 int n,head,tail;
18 int X[MAXN],P[MAXN],C[MAXN],dui[MAXN];
19 LL f[MAXN],s[MAXN],sp[MAXN];
20 
21 inline int getint()
22 {
23     int w=0,q=0; char c=getchar();
24     while((c<'0' || c>'9') && c!='-') c=getchar(); if(c=='-') q=1,c=getchar(); 
25     while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar(); return q ? -w : w;
26 }
27 inline LL count(int x,int y){  return ( (f[x]-f[y])+(s[x]-s[y]) ) / (sp[x]-sp[y]) ; }
28 inline void work(){
29     n=getint(); for(int i=1;i<=n;i++) X[i]=getint(),P[i]=getint(),C[i]=getint(),s[i]=s[i-1]+(LL)X[i]*P[i],sp[i]=sp[i-1]+P[i];
30     dui[head=tail=1]=0; int from;
31     for(int i=1;i<=n;i++) {
32     while(head<tail && count(dui[head+1],dui[head])<X[i]) head++;
33     from=dui[head]; f[i]=(LL)f[from]+X[i]*(sp[i]-sp[from])-(s[i]-s[from])+C[i];
34     while(head<tail && count(dui[tail],dui[tail-1])>count(i,dui[tail])) tail--;
35     dui[++tail]=i;
36     }
37     printf("%lld",f[n]);
38 }
39 
40 int main()
41 {
42     work();
43     return 0;
44 }