DFS 算法總結

這篇文章會對DFS進行一個總結，列舉的題目則是從LeetCode上面選的；

適用場景：

有三個方面，分別是輸入數據、狀態轉換圖、求解目標；

輸入數據：如果是遞歸數據結構，如單鏈表，二叉樹，集合，則百分之百可以使用深搜；如果是非遞歸數據結構，比如一維數組、二維數組、字符串、圖，則概率要小一些；

狀態轉換圖：樹或者圖；

輸入數據：必須要走到最深（比如對於樹，必須要走到葉子結點）才能得到一個解，這種情況比較適合用深搜；

代碼模版

/**
     *  DFS模版
     *  @param input  輸入數據指針
     *  @param path   當前路徑，也是中間結果
     *  @param result 存放最終結果
     *  @param gap    標記當前位置或距離目標的距離
     *
     *  @return 路徑長度，如果是路徑本身，則不需要返回長度
     */
    template <typename type>
    void dfs(type & input, type & path, type & result, int cur or gap) {
        if (數據非法) return 0;  // 終止條件
        if (cur == input.size()) { // 收斂條件 (or gap == 0)
            將path放入到result中；
        }
        
        if (可以剪枝) return ;
        
        for (...) {  //執行所有可能的擴展動作
            1.執行動作，修改path
            2.dfs(input, path, result, cur + 1 or gap - 1);
            3.恢復path
        }
    }

典型例題

大概遇見這幾種題型：

• 二叉樹路徑
• 圖（有向圖遍歷，無向圖遍歷，拓撲排序，最短路徑問題，最小生成樹問題等等）
• 構造二叉樹
• 矩陣路徑
• 構造鏈表
• 刪除無效括號

二叉樹路徑

例題為求二叉樹路徑
貼上代碼：

/**
     *  遞歸將更新字符串，到達葉結點時加入到數組中
     *
     *  @param result <#result description#>
     *  @param root   <#root description#>
     *  @param t      <#t description#>
     */
    void binaryTreePaths(vector<string>& result, TreeNode* root, string t) {
        if (!root->left && !root->right) {
            result.push_back(t);
            return ;
        }
        
        if (root->left) binaryTreePaths(result, root->left, t + "->" + to_string(root->left->val));
        if (root->right) binaryTreePaths(result, root->right, t + "->" + to_string(root->right->val));
        
    }
    vector<string> binaryTreePaths(TreeNode* root) {
        vector<string> result;
        if (!root) return result;
        
        binaryTreePaths(result, root, to_string(root->val));
        return result;
    }
    

圖

因為這里面涉及的內容很多，所以就以拓撲排序為例，例題為選課順序；
貼上代碼：

/**
     *  判斷有向圖是否有環
     *  通過DFS找環
     *
     *  @param matrix  <#matrix description#>
     *  @param visited <#visited description#>
     *  @param idx     <#idx description#>
     *  @param flag    <#flag description#>
     *
     *  @return <#return value description#>
     */
    bool DFS(vector<unordered_set<int>> &matrix, unordered_set<int> &visited, int idx, vector<bool> &flag) {
        flag[idx] = true; // 標記該結點訪問過
        visited.insert(idx);
        
        // 找出該結點的所有鄰居結點，如果存在訪問過的結點或者遞歸，則返回true
        for (auto it = matrix[idx].begin(); it != matrix[idx].end(); ++it) {
            if (visited.find(*it) != visited.end() || DFS(matrix, visited, *it, flag)) {
                return true;
            }
        }
        
        visited.erase(idx);
        return false;
    }
    bool canFinish(int numCourses, vector<pair<int, int>>& prerequisites) {
        vector<unordered_set<int>> matrix(numCourses);
        // 要想完成第一門課程，則先完成第二門課程(后面的是先要完成的課程)
        // 構建圖
        for (int i = 0; i < prerequisites.size(); ++i) {
            matrix[prerequisites[i].second].insert(prerequisites[i].first);
        }
        
        unordered_set<int> visited; // 記錄一個遞歸訪問過的結點
        vector<bool> flag(numCourses, false); // 記錄是否訪問過結點
        
        /**
         *  遍歷所有課程，也就是結點
         *  判斷是否標記過結點，如果沒有則進行DFS判斷是否存在回路，存在回路則返回false
         */
        for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
            if (!flag[i])
                // 如果遞歸中存在訪問過的結點，則該拓撲排序是不存在的，也就無法完成課程
                if (DFS(matrix, visited, i, flag))
                    return false;
        }
        return true;
    }

構造二叉樹

這里分為鏈表構造和數組構造，或是已知前中后序列，構造二叉樹
這里以前序和后序構造二叉樹為例，貼上代碼：

/**
     *   利用遞歸進行計算左子樹和右子樹
     *
     *  @param inorder   <#inorder description#>
     *  @param postorder <#postorder description#>
     *  @param inStart   <#inStart description#>
     *  @param inEnd     <#inEnd description#>
     *  @param postStart <#postStart description#>
     *  @param postEnd   <#postEnd description#>
     *
     *  @return <#return value description#>
     */
    TreeNode* createTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder, int inStart, int inEnd, int postStart, int postEnd) {
        if (postorder.empty() || inStart > inEnd || postStart > postEnd)
            return NULL;
        // 后序的最后一個結點是跟結點
        TreeNode * root = new TreeNode(postorder.at(postEnd));
        int index;
        for (int i = inStart; i <= inEnd; i++) {
            if (inorder.at(i) == postorder.at(postEnd)) {
                index = i;
                break;
            }
        }
        
        // 分別定為左子樹和右子樹 （需要注意子樹的邊界問題!!!!!）
        root->left = createTree(inorder, postorder, inStart, index - 1, postStart, postStart - inStart + index - 1);
        root->right = createTree(inorder, postorder, index + 1, inEnd, postEnd - inEnd + index, postEnd - 1);
        return root;
    }
    
    TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {
        if (postorder.empty())
            return NULL;
        return createTree(inorder, postorder, 0, (int)inorder.size() - 1, 0, (int)postorder.size() - 1);
    }

矩陣路徑

以Longest Increasing Path in a Matrix為例
貼上代碼：

/**
     *  方法和上面類似，不過利用dirs+循環可以使函數簡化
     */
    vector<vector<int>> dirs = {{1, 0}, {-1, 0}, {0, 1}, {0, -1}};
    int helper(vector<vector<int>>& matrix, vector<vector<int>>& visit, int i, int j, int m, int n) {
        if (visit[i][j] > 1) return visit[i][j];
        int result = 1;
        for (auto dir : dirs) {
            int x = i + dir[0], y = j + dir[1];
            if (x < 0 || x >= m || y < 0 || y >= n || matrix[i][j] > matrix[x][y])
                continue;
            result = max(result, helper(matrix, visit, i, j, m, n));
        }
        visit[i][j] = result;
        return result;
    }
    int longestIncreasingPath2(vector<vector<int>>& matrix) {
        int m = matrix.size();
        if (m == 0) return 0;
        int n = matrix[0].size();
        
        int result = 0;
        vector<vector<int>> visit(m, vector<int>(n, 0));
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                result = max(result, helper(matrix, visit, i, j, m, n));
            }
        }
        
        return result;
    }

構造鏈表

以Populating Next Right Pointers in Each Node為例，貼上代碼：

/**
     *  遞歸實現
     *
     *  @param root <#root description#>
     */
    void createTree(TreeLinkNode *root) {
        if (root->left == NULL || root->right == NULL)
            return ;
        
        TreeLinkNode * left = root->left;
        TreeLinkNode * right = root->right;
        
        left->next = right;
        right->next = root->next ? root->next->left : NULL;
        
        createTree(root->left);
        createTree(root->right);
    }
    
    void connect2(TreeLinkNode *root) {
        if (root == NULL)
            return ;
        root->next = NULL;
        createTree(root);
    }

刪除無效括號

以Remove Invalid Parentheses為例，貼上代碼：

/**
     *  DFS＋剪枝
     *
     *  @param pair         遇見括號的個數
     *  @param index        記錄字符串s的當前位置
     *  @param remove_left  左括號需要刪除的個數
     *  @param remove_right 右括號需要刪除的個數
     *  @param s            原始字符串
     *  @param solution     生成字符串
     *  @param result       存儲所有的字符串結果
     */
    void helper(int pair, int index, int remove_left, int remove_right, const string& s, string solution, unordered_set<string> &result) {
        if (index == s.size()) {
            if (pair == 0 && remove_left == 0 && remove_right == 0)
                result.insert(solution);
            return;
        }
        
        if (s[index] == '(') {
            // 刪除左邊括號
            if (remove_left > 0) helper(pair, index, remove_left - 1, remove_right, s, solution, result);
            // 回溯
            helper(pair + 1, index, remove_left, remove_right, s, solution + s[index], result);
        }
        else if (s[index] == ')') {
            // 刪除右邊括號
            if (remove_right > 0) helper(pair, index, remove_left, remove_right - 1, s, solution, result);
            // 回溯
            if (pair > 0) helper(pair - 1, index, remove_left, remove_right, s, solution + s[index], result);
        }
        else {
            helper(pair, index, remove_left, remove_right, s, solution + s[index], result);
        }
        
    }
    vector<string> removeInvalidParentheses(string s) {
        int remove_left = 0, remove_right = 0, pair = 0;
        unordered_set<string> result; // 處理重復
        
        // 計算左右兩邊需要刪除括號的個數
        for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
            if (s[i] == '(')
                remove_left++;
            else if (s[i] == ')')
                if (remove_left > 0) remove_left--;
                else remove_right++;
        }
        
        helper(0, 0, remove_left, remove_right, s, "", result);
        
        return vector<string>(result.begin(), result.end());
    }

總結

回溯法 ＝ 深搜＋剪枝
遞歸一定是深搜，深搜不一定是遞歸，因為還可以迭代實現；

遞歸有兩種加速策略，一種是剪枝，對中間結果進行判斷，提前返回；一種是緩存，緩存中間結果，防止重復計算，用空間換時間；

遞歸加緩存，就是memorization，即自頂向下＋緩存，memorization不一定用遞歸，就像深搜不一定用遞歸，可以在迭代中使用memorization，遞歸也不一定memorization，可以用memorization加速，但不是必須的；