（2016-12-21銀河統計）
第一章 利息理論
教學重點：掌握利息的基礎理論，年金現值、年金終值的定義及計算方法，永續年金、變額年金的現值和終值的計算；熟悉年金的定義及分類方法。
人壽保險是以人的身體和為保險標的的保險。人生的各個不同階段一直都面臨着生、老、病、死的風險，往往需要通過保險得到經濟安全保障。為了在較長時期內平衡繳費水平，人壽保險通常為長期合同。因此，在壽險精算中，必須要考慮資金的投資收益，利息理論便成為壽險精算的基礎。
第二節、年金分析
本節概要：年金現值、終值的定義及計算方法，以及各種年金現值和終值在線計算表
年金是收付款的一種方式，它是指在一個相等的時間間隔進行的一系列固定數額收付款方式。如向銀行一次性貸款后在今后的若干年內等額還款，以分期付款方式購買大宗商品等。
一、終值和現值
貨幣是有時間價值的，在不同時期，相同貨幣額的價值是不同的。為了體現貨幣的時間價值，這里引入終值和現值的概念。終值是現在時期貨幣值在未來時期的價值，現值是未來時期貨幣值在現在時期的價值。
由（1-11）和（1-15）可知，1單位貨幣在t年的終值為：\(a(t)=(1+i)^t\)；未來\(t\)年1單位貨幣的現值為：
令，
則，
我們稱\(v\)為折現因子（或貼現因子），\(v^t\)稱為折現函數（或貼現函數）。由（1-14），\(d=\frac{i}{1+i}\)可知貼現率與折現因子的關系是：
二、基本年金的現值和終值
1、定額年金的現值和終值
I、期初付\(n\)年定額年金的現值和終值
設每年年初定期付給1元，給付時間為n年，用\(\ddot{a}_{_n}\)表示該年金的現值，\(\ddot{s}_{_n}\)表示該年金的終值，則期初付\(n\)年定期年金的現值為：
期初付\(n\)年定期年金的終值為：
由式（1-27）可得期初付年金的現值和終值的關系為：
通常，\(\ddot{a}_{_n}\)、\(\ddot{s}_{_n}\)符號不必標出計算所依據的利率，但在有些時候為避免引起混亂，可寫成\(\ddot{a}_{_{n|i}}\)、\(\ddot{s}_{_{n|i}}\)的形式。
【例1.10】某人從銀行貸款20萬元用於購買住房，貸款年利率為5%，還款期為30年。如果從第一年開始每年等額還款，求每年還款數額。
解：設每年還款數額為\(X\)，由於貸款額和還款數額在零時刻的現值是相等的，即，
其中，
實例代碼（例1.10）：
webTJ.clear();//清空輸出
var m = 200000;//銀行貸款額
var i = 0.05;//年利息率
var t = 30;//還款期
var a = webActuary.getIFA(t,i,0);//單位元期初年金現值
webTJ.display("期初年金現值："+a+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每年還款數額
webTJ.display("每年還款數額："+v+"元",0);
【例1.11】某人用2000元一次性購買了15年確定年金，年利率為6%。如果第一次領取年金從購買時開始，試計算每年可以領取的數額。
解：設每年領取數額為\(X\)，由於購買額和領取數額在零時刻的現值相等，即，
實例代碼（例1.11）：
webTJ.clear();//清空輸出
var m = 2000;//投資額
var i = 0.06;//年利息率
var t = 15;//投資期
var a = webActuary.getIFA(t,i,0);//單位元期初年金現值
webTJ.display("期初年金現值："+a+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每年還款數額
webTJ.display("每年領取數額："+v+"元",0);
II、期末付\(n\)年定額年金的現值和終值
設每年年末定期付給1元，給付時間為\(n\)年，用\(a_n\)表示該年金的現值，\(s_n\)表示該年金的終值。則，期末付\(n\)年定期年金的現值為：
期末付\(n\)年定期年金的終值為：
期末付年金的現值和終值的關系為：
期初付年金現值與期末付年金現值的關系為：
期初付年金終值與期末付年金終值的關系為：
【例1.12】某人從銀行貸款20萬元用於購買住房，貸款年利率為5%，還款期為30年。如果從第二年開始每年等額還款，求每年還款數額。
解：設每年還款數額為\(X\)，由於貸款額和還款數額在零時刻的現值是相等的，即，
實例代碼（例1.12）：
webTJ.clear();//清空輸出
var m = 200000;//銀行貸款額
var i = 0.05;//年利息率
var t = 30;//還款期
var a = webActuary.getIFA(t,i,1);//單位元期末年金現值
webTJ.display("期末年金現值："+a+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每年還款數額
webTJ.display("每年還款數額："+v+"元",0);
【例1.13】計算年利率為6%條件下，每年年末投資1000元，投資10年的現值及累積值（終值）。
解：
現值（開始時價值）=\(1000\times a_{_{10|0.05}}=1000\times 7.360087\approx7360.09(元)\)
終值（結束時價值）=\(1000\times s_{_{10|0.05}}=1000\times 13.180795\approx13180.80(元)\)
實例代碼（例1.13）：
webTJ.clear();
var m = 1000;//每年年末投資額
var i = 0.06;//年利息率
var t = 10;//投資期
var a = webActuary.getIFA(t,i,1);//單位元期末年金現值
webTJ.display("期末年金現值："+a+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m*a,2);//現值（開始時價值）
webTJ.display("現值（開始時價值）："+v+"元",0);
var a1 = webActuary.getIFS(t,i,1);//單位元期末年金終值
webTJ.display("期末年金終值："+a1+"元",0);
var v1 = webTJ.getDecimal(m*a1,2);//終值（結束時價值）
webTJ.display("終值（結束時價值）："+v1+"元",0);
【例1.14】通過零存整取方式在一年后獲得10000元，月復利為0.5%。每月存款多少？
解：設每月存款為\(D\)，則，
實例代碼（例1.14）：
webTJ.clear();
var m = 10000;//零存整取本利和
var i = 0.005;//月利息率
var t = 12;//投資期（月）
var s = webActuary.getIFS(t,i,1);//單位元期末年金終值
webTJ.display("期末年金現值："+s+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m/s,2);//每月存款數額
webTJ.display("每月存款數額："+v+"元",0);
【例1.15】在銀行存入20000元，計划4年支取完，每半年支取一次，年利率為7%。計算每次支取額度。
解：設每次支取額度\(R\)，則，
實例代碼（例1.15）：
webTJ.clear();
var m = 20000;//零銀行存款額
var i = 0.035;//半年利息率
var t = 8;//投資期（半年）
var a = webActuary.getIFA(t,i,1);//單位元期末年金現值
webTJ.display("期末年金現值："+a+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每次支取額
webTJ.display("每次支取額："+v+"元",0);
【例1.16】已知年利率為8%，向銀行貸款10000元，期限為5年，計算下面三種還款方式中利息額度。
a. 第五年一次還清；
b. 每年年末支付貸款利息，第五年年末歸還本金；
c. 貸款每年均衡償還（即采用年金方式）。
解：
a. 本利和 = \(10000\times(1+0.08)^5=14693.28(元)\)，其中利息額為4693.28元。
b. 每年年末支付利息800元，5年共支付4000元。
c. 設每年償還R元，\(R=\frac{10000}{a_{_{5|0.08}}}=2504.56(元)\)，5年共還款\(2504.56\times5=12522.80(元)\)，其中利息額為2522.80元。
實例代碼（例1.16）：
webTJ.clear();
var m = 10000;//銀行貸款
var i = 0.08;//年利息率
var t = 5;//投資期（半年）
var v = webActuary.getFL(m,t,i);//5年本利和
webTJ.display("5年本利和："+v+"元，其中利息額為："+(v-m)+"元",0);
webTJ.display("每年年末支付利息800元，5年共支付4000元",0);
var a = webActuary.getIFA(t,i,1);//單位元期末年金現值
var v1 = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每年償還額
webTJ.display("每年償還額："+v1+"元"+"5年共還款額："+v1*t+"元"+"其中利息額為："+webTJ.getDecimal((v1*t-m),2)+"元",0);
2、延期付定額年金的現值和終值
I、期初付延期m年的n年定額年金的現值和終值
設每年年初定期付給1元，於\(m\)年年初開始給付，共付\(n\)年，用\(_{_m}\ddot{a}_{_n}\)表示該年金的現值，\(_{_m}\ddot{s}_{_n}\)表示該年金的終值，則：
公式(1-38)中，令，
II、期末付延期m年的n年定額年金的現值和終值
設每年年末定期付給1元，於\(m\)年年末開始給付，共付\(n\)年，用\(_{_m}a_{_n}\)表示該年金的現值，\(_{_m}s_{_n}\)表示該年金的終值，則：
【例1.17】某人貸款50000元購買汽車，從貸款后第九個月開始用5年的時間每月還款，年利為6%，求每月還款額。
解：月利率為，\((1+j)^{12}=1.06\Leftrightarrow j=0.004868\)，再設每月還款額為\(X\)，銀行收付款一般為期末支付，第九個月開始還款意味延期8個月。則有，
\(_{_8}{a}_{_{50}}\times X=42.5975\times X=50000\)，解得，\(X=1173.78(元)\)
實例代碼（例1.17）：
webTJ.clear();
var s = 50000;//銀行貸款
var i = 0.06;//年利息率
var t = 50;//投資期（月）
var m = 8;//延期（月）
var j = Math.pow(1.06,1/12)-1;//月利息率
webTJ.display("月利息率："+j,0);
var a = webActuary.getMIFA(t,j,m,1);//單位元期末延期年金現值
var v = webTJ.getDecimal(s/a,2);//每月還款額
webTJ.display("每月還款額："+v+"元",0);
III、任意時刻年金值經驗公式
a. 將現值向前折現m年
b. 將現值向后積累m年
證明：
又，
c. 將終值向前折現m年
d. 將終值向前折現m年
3、遞增型n年期年金的現值和終值
I、期初付遞增型n年期年金的現值和終值
設第一年年初付給1元，以后每年年初增加1元，共付\(n\)年，用\((I\ddot{a})_{_n}\)表示該年金的現值，\((I\ddot{s})_{_n}\)表示該年金的終值，則：
II、期末付遞增型n年期年金的現值和終值
設第一年年末付給1元，以后每年年末增加1元，共付\(n\)年，用\((Ia)_{_n}\)表示該年金的現值，\((Is)_{_n}\)表示該年金的終值，則：
【例1.18】某年金第一年末收付1000元，以后每隔一年收付額比前一年增加100元，共收付10年、年利為5%，求第10年年末的終值。
解：這一變額年金可以分解為每年900元的10年定額年金和100元的10年等差遞增年金之和。即，
實例代碼（例1.18）：
webTJ.clear();
var m1 = 900;
var m2 = 100;
var i = 0.05;
var t = 10;
var s = webActuary.getIFS(t,i,1);
webTJ.display("單位元期末定額年金終值："+s,0);
var Is = webActuary.getIIFS(t,i,1);
webTJ.display("單位元期末等差遞增年金終值："+Is,0);
var v = m1*s+m2*Is;
webTJ.display("終值："+v,0);
4、遞減型n年期年金的現值和終值
I、期初付遞減型n年期年金的現值和終值
設第一年年初付給\(n\)元，以后每年減少1元，共付\(n\)年，用\((D\ddot{a})_{_n}\)表示該年金的現值，\((D\ddot{s})_{_n}\)表示該年金的終值，則：
II、期末付遞減型n年期年金的現值和終值
設第一年年末付給\(n\)元，以后每年遞減1元，共付\(n\)年，用\((Da)_{_n}\)表示該年金的現值，\((Ds)_{_n}\)表示該年金的終值，則：
【例1.19】某人從銀行貸款50萬元購買住房，年利為5%，貸款期限20年。
a、采用期末遞減還款方式，求第一年末還款額和每年遞減額；
b、第一個月及每月遞減額；
c、該人預計5年內每年還款10萬元，然后采用遞減還款方式，求第六年末還款額和以后每年遞減額。
解：
a、每年遞減額為\(X\)，\(X\times(Da)_{_{20|0.05}}=150.7558\times{X}=500000\)，解得，\(X=3316.62(元)\)；
第一年末還款額為\(3316.62\times20=66332.4(元)\)；
還款總額為\((20+19+\dots+1)\times3316.62=696490.2(元)\)。
b、月利率為\((1+j)^{12}=1.05\Leftrightarrow j=0.004074124\)，每月遞減額為\(X\)，則有：
\(X\times(Da)_{_{240|0.004074124}}=500000\)，解得，\(X=23.4(元)\)；
第一月末還款額為\(23.4\times240=5616(元)\)；
還款總額為\((240+239+\dots+1)\times23.4=676728(元)\)。
c、設第六年開始每年遞減額為\(X\)。該問題可分解為5年等額年金和15年延期遞減年金之和。即，
\(100000\times a_{_{5|0.05}}+X\times V^5\times(Da)_{_{15|0.05}}=500000\)，解得，\(X=926.1(元)\)；
第六年末還款額為\(926.1\times15=13891.5(元)\)；
還款總額為\(5\times100000+(15+14+\dots+1)\times926.1=611132(元)\)。
實例代碼（例1.19）：
webTJ.clear();
var m = 500000;
var i = 0.05;
var t = 20;
var Ds = webActuary.getDIFA(t,i,1);
webTJ.display("問題a、單位元期末等差遞減年金終值："+Ds,0);
var X = m/Ds;
webTJ.display("問題a、每年遞減額："+X,0);
var M = t*X;
webTJ.display("問題a、第一年末還款額："+M,0);
var S = (t*(t+1)/2)*X;
webTJ.display("問題a、還款總額："+S,0);
var j = Math.pow(1+i,1/12)-1;
webTJ.display("問題b、月利率："+j,0);
var t1 = 240;
Ds = webActuary.getDIFA(t1,j,1);
webTJ.display("問題b、單位元期末等差遞減年金終值："+Ds,0);
X = m/Ds;
webTJ.display("問題b、每月遞減額："+X,0);
M = t1*X;
webTJ.display("問題b、第一月末還款額："+M,0);
S = (t1*(t1+1)/2)*X;
webTJ.display("問題b、還款總額："+S,0);
var R = 100000;
var t2 = 5;
var t3 = 15;
var v=1/(1+i);
var V = Math.pow(v,t2);
var a = webActuary.getIFA(t2,i,1);
Ds = webActuary.getDIFA(t3,i,1);
X = (m-R*a)/(V*Ds);
webTJ.display("問題c、第六年開始每年遞減額："+X,0);
M = t2*X;
webTJ.display("問題c、第六年末還款額："+M,0);
S = R*t2+(t3*(t3+1)/2)*X;
webTJ.display("問題c、還款總額："+S,0);
5、等比遞增（減）型n年期年金的現值和終值
I、期初付等比遞增（減）型n年期年金的現值和終值
設第一年年初付給1元，以后每年收付額遞增（減）\(j\)比例，共付\(n\)年，用\((P\ddot{a})_{_n}\)表示該年金的現值，\((P\ddot{s})_{_n}\)表示該年金的終值，則：
設\(u=(1+j)v\)
II、期末付等比遞增（減）型n年期年金的現值和終值
設第一年年末付給1元，以后以后每年收付額遞增（減）\(j\)比例，共付\(n\)年，用\((Pa)_{_n}\)表示該年金的現值，\((Ps)_{_n}\)表示該年金的終值，則：
設\(u=(1+j)v\)
【例1.20】某人從20歲開始購買養老保險，其保險賬戶擬以個人工資8%記入。如果當年工資為6000元，工資年增長率為2%，個人賬戶累積利率為4%。
a、計算他在退休時個人賬戶累積額；
b、如果累積利率前10年內為4%，退休前10年內為2%，中間20年為3%，計算退休時個人賬戶累積額。
解：
a、個人賬戶在20歲時的現值，
個人賬戶在60歲時的累積額，
b、20-29歲期間，個人賬戶在20歲的現值為：
30-49歲期間，個人賬戶在20歲的現值為：
50-59歲期間，個人賬戶在20歲的現值為：
最后，個人賬戶在60歲的累積值為：
實例代碼（例1.20）：
webTJ.clear();
var m = 6000;
var i = 0.04;
var j = 0.02;
var p = 0.08;
var t = 40;
var a = webActuary.getRIFA(t,i,j,0);
webTJ.display("單位元期初付等比遞增型年金現值："+a,0);
var w = m*p*webActuary.getRIFA(t,i,j,0);
webTJ.display("問題a、個人賬戶在20歲時的現值："+w,0);
var s = m*p*webActuary.getRIFS(t,i,j,0);
webTJ.display("問題a、個人賬戶在60歲時的累積額："+s,0);
var a1 = m*p*webActuary.getRIFA(10,0.04,j,0);
webTJ.display("問題b、20-29歲期間，個人賬戶在20歲的現值為："+a1,0);
var a2 = m*p*Math.pow(1.02,10)*webActuary.getRIFA(20,0.03,j,0)*Math.pow(1/1.04,10);
webTJ.display("問題b、30-49歲期間，個人賬戶在20歲的現值為："+a2,0);
var a3 = m*p*Math.pow(1.02,30)*10*Math.pow(1/1.04,10)*Math.pow(1/1.03,20);
webTJ.display("問題b、50-59歲期間，個人賬戶在20歲的現值為："+a3,0);
var s1 = (a1+a2+a3)*Math.pow(1.04,10)*Math.pow(1.03,20)*Math.pow(1.02,10);
webTJ.display("問題b、個人賬戶在60歲的累積值為："+s1,0);
三、一般年金的現值和終值
當支付周期和利息周期不一致時，如利息率為年利息率、年金按月結轉，這時的年金稱為一般年金。
1、一年支付m次的n年年金
I、期初付年金
設一年支付\(m\)次，每年期初支付\(\frac{1}{m}\)，期限為\(n\)年，年利率為\(i\)。記\(\ddot{a}_n^{(m)}\)為該年金現值，\(\ddot{s}_n^{(m)}\)為該年金終值，則：
一般年金與基本年金的關系為：
II、期末付年金
設一年支付\(m\)次，每年期末支付\(\frac{1}{m}\)，期限為\(n\)年，年利率為\(i\)。記\(a_n^{(m)}\)為該年金現值，\(s_n^{(m)}\)為該年金終值，則：
一般年金與基本年金的關系為：
【例1.20a】某人計划在30歲時每年年初存入6000元建立個人賬戶，年利率為2%。該人60歲退休，問在20年內，
a、每年可領取多少錢？
b、每月可領取多少錢（利息周期和支付周期不一致）？
解：
a、每年領取額為X，\(6000\times\ddot{s}_{30|0.02}=X\times\ddot{a}_{20|0.02}\)，解得\(X=14886.06\)（元/年）
b、解法一，首先計算實際利息率。\((1+j)^12=1.02\Leftrightarrow j=0.001651581\) ，每月領取額為\(X\)，則有，\(6000\times\ddot{s}_{30|0.02}=X\times\ddot{a}_{240|0.001651581}\Leftrightarrow X=1251.80\)（元/月）
解法二，\(6000\times\ddot{s}_{30|0.02}=12\times X\times\ddot{a}_{20|0.02}^{(12)}\Leftrightarrow X=1251.80\)（元/月）
實例代碼（例1.20a）：
webTJ.clear();
var A1=webActuary.getIFA(20,0.02,0); //期初付年金現值
var A2=webActuary.getGIFA(20,12,0.02,0); //期初多次付年金現值
var S = webActuary.getIFS(30,0.02,0); //期初年金終值
var C1 = (6000*S)/A1; //每年領取錢數
var C2 = (6000*S)/(12*A2); //每月領取錢數
webTJ.display("每年領取錢數："+C1,0);
webTJ.display("每月領取錢數："+C2,0);
【例1.21】某人計划在30歲時每月月初存入500元建立個人賬戶，年利率為2%。該人60歲退休，問在20年內，
a、每年可領取多少錢？
b、每月可領取多少錢？
解：
a、每年領取額為\(X\)，\(500\times\ddot{s}_{360|0.001651581}=X\times\ddot{a}_{20|0.02}\Leftrightarrow X=14751.80\)（元/年）
b、每月領取額為\(X\)，\(500\times\ddot{s}_{360|0.001651581}=X\times\ddot{a}_{240|0.001651581}\Leftrightarrow X=1240.51\)（元/月）
實例代碼（例1.21）：
webTJ.clear();
var A1=webActuary.getIFA(20,0.02,0); //期初付年金年度現值
var A2=webActuary.getIFA(240,0.001651581,0); //期初付年金月度現值
var S = webActuary.getIFS(360,0.0016515812,0); //期初年金月度終值
var C1 = (500*S)/A1; //每年領取錢數
var C2 = (500*S)/A2; //每月領取錢數
webTJ.display("每年領取錢數："+C1,0);
webTJ.display("每月領取錢數："+C2,0);
2、一年結轉k次的年金
I、期初付年金
設一年結轉\(k\)次利息，每次利息結轉周期的實際利息率為\(j\)，每年年初支付1元，共支付\(n\)年。
記\(\ddot{a}_n(k)\)為該年金現值，\(\ddot{s}_n(k)\)為該年金終值，則：
II、期末付年金
設一年結轉\(k\)次利息，每次利息結轉周期的實際利息率為\(j\)，每年年末支付1元，共支付\(n\)年。
記\(a_n(k)\)為該年金現值，\(s_n(k)\)為該年金終值，則：
【例1.22】某人向銀行貸款20000元，年利率5%，期限為10年。約定每年年初還款，每年結轉4次利息，求每年還款額。
解、 \((1+j)^4=1.05\Leftrightarrow j=0.012272234\)
\(X\times\ddot{a}_{10|0.012272234}(4)=20000\Leftrightarrow X\times\frac{\ddot{a}_{4|0.012272234}}{\ddot{a}_{40|0.012272234}}=2467\)（元/年）
實例代碼（例1.22）：
webTJ.clear();
var A=webActuary.getKIFA(10,4,0.012272243,0); //期初每年4次付年金現值
webTJ.display("每每年還款額："+20000/A,0);
四、連續年金的現值和終值
支付頻率無限大（即連續支付，在一般年金中，令\(m\rightarrow\infty\)）的年金稱為連續年金。設連續支付\(n\)個計息期，每個計息期的支付額為1的年金現值為\(\bar{a}_n\)，終值為\(\bar{s}_n\)，則：
五、永續年金的現值
支付次數沒有限制，永遠持續的年金稱為永續年金。如股票中不能贖回的優先股，其固定紅利的付給就是永續年金的形式。由於支付沒有終點時刻，永續年金的終值不存在。當\(n\rightarrow\infty\)時，每年支付1元的永續年金現值為：
六、確定年金類函數索引和計算表
基本年金現值
函數：webActuary.getIFA(t,p,k);
公式：(1-30) - 期初、(1-33) - 期末
參數：t - 給付時間；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
基本年金終值
函數：webActuary.getIFS(t,p,k);
公式：(1-31) - 期初、(1-34) - 期末
參數：t - 給付時間；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
基本年金計算表（確定型年金計算表I）
金額 利率 期限 期初期末
延期付年金現值
函數：webActuary.getMIFA(t,p,m,k);
公式：(1-38) - 期初、(1-39) - 期末
參數：t - 給付時間；p - 利率；m - 延期；k - 期初k = 0、期末k = 1
延期付年金終值
函數：webActuary.getMIFS(t,p,m,k);
公式：(1-38a) - 期初、(1-39a) - 期末
參數：t - 給付時間；p - 利率；m - 延期；k - 期初k = 0、期末k = 1
延期年金計算表（確定型年金計算表II）
金額 利率 期限 延期 期初期末
遞增型年金現值
函數：webActuary.getIIFA(t,p,k);
公式：(1-41) - 期初、(1-43) - 期末
參數：t - 給付時間；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
遞增型年金終值
函數：webActuary.getIIFS(t,p,k);
公式：(1-42) - 期初、(1-44) - 期末
參數：t - 給付時間；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
遞增型年金計算表（確定型年金計算表III）
金額 利率 期限 期初期末
遞減型年金現值
函數：webActuary.getDIFA(t,p,k);
公式：(1-45) - 期初、(1-47) - 期末
參數：t - 給付時間；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
遞減型年金終值
函數：webActuary.getDIFS(t,p,k);
公式：(1-46) - 期初、(1-48) - 期末
參數：t - 給付時間；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
遞減型年金計算表（確定型年金計算表IV）
金額 利率 期限 期初期末
等比遞增（減）型年金現值
函數：webActuary.getRIFA(t,p,q,k);
公式：(1-48a) - 期初、(1-48c) - 期末
參數：t - 給付時間；p - 利率；q - 收付額遞增（減）比例；k - 期初k = 0、期末k = 1
等比遞增（減）型年金終值
函數：webActuary.getRIFS(t,p,q,k);
公式：(1-48b) - 期初、(1-48d) - 期末
參數：t - 給付時間；p - 利率；q - 收付額遞增（減）比例；k - 期初k = 0、期末k = 1
等比遞增（減）型年金計算表（確定型年金計算表V）
金額 利率 期限 增加比例 期初期末
一年多次支付年金現值
函數：webActuary.getGIFA(t,m,p,k);
公式：(1-49) - 期初、(1-51) - 期末
參數：t - 給付時間；m - 一年支付次數；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
一年多次支付年金終值
函數：webActuary.getGIFS(t,m,p,k);
公式：(1-52) - 期初、(1-53) - 期末
參數：t - 給付時間；m - 一年支付次數；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
一年多次支付年金計算表（確定型年金計算表VI）
金額 利率 期限 支付次數 期初期末
一年多次結轉年金現值
函數：webActuary.getKIFA(t,m,p,k);
公式：(1-57) - 期初、(1-59) - 期末
參數：t - 給付時間；m - 一年結轉次數；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
一年多次結轉年金終值
函數：webActuary.getKIFS(t,m,p,k);
公式：(1-58) - 期初、(1-60) - 期末
參數：t - 給付時間；m - 一年結轉次數；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
一年多次結轉年金計算表（確定型年金計算表VII）
金額 利率 期限 結轉次數 期初期末
七、壽險精算代碼窗口
代碼窗口 注：可將例題實例代碼復制、粘貼到“代碼窗口”，點擊“運行代碼”獲得計算結果（鼠標選擇實例代碼$\rightarrow$Ctrl+C:復制$\rightarrow$鼠標點擊“代碼窗口”使其獲得焦點$\rightarrow$Ctrl+V:粘貼）
代碼運行效果
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