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不管是怎樣的保險產品，人們總是最為關心它的現金流，而現金流的變化無外乎時間和金額。在只考慮單位金額的情況下，時間的變化規律就顯得格外重要了。
首先，保險金的給付時間和保險的種類有關。不同的保險期限，不同的給付條件，都影響了保險金的給付時間；其次，是期末給付還是立即給付也會對其產生影響。期末給付是指在發生保險事故后在當期的期末支付保險金。如果以一個自然年為一期，被保險人在年中死亡，但是需要等到年末才能拿到保險金，而立即給付則是在保險事故發生之后馬上（實際上也會等一段時間）拿到保險金。
壽險產品是以被保險人在保險期間內生存或死亡為條件進行給付。若計算目前為 \(x\) 歲的人持有保險的精算現值，那么他的剩余壽命 \(T_x\) 就是立即給付是保險金的支付時間。令 \(K_x = \lfloor T_x \rfloor\)，那么 \(K_x + 1\) 就是期末給付時保險金的支付時間。此時，期末給付現值 \(PV = v^{K_x + 1}\)，立即給付現值：\(\overline {PV} = v^{T_x}\). 它們都是隨機變量。
以下會先將終身壽險、定期壽險、生存保險、兩全保險的現金流用線段圖表示出來，然后給出對應的現值和其期望、方差的表達式，最后討論這些現值期望之間的關系。
准備
一、假設
- 保險金額（sum assured）始終為1
- 保險人在 \(x\) 歲時購買保險
二、給付時間的概率密度函數
期末給付
一、終身壽險
終身壽險（whole life insurance）在被保險人死亡時支付保險金，其現金流情況如下：
圖中的箭頭並不是進行了實際支付，只是表明了支付可能發生的時間點。（下同）
此時，現值
\[PV_1 = v^{K_x + 1} \; , \qquad K_x \ge 0 \]
期望
\[A_x = E~[PV_1] = E~[v^{K_x + 1}] = \sum_{k=0}^ \infty v^{k+1}P \{K_x = k \} = \sum_{k=0}^ \infty v^{k+1}{_{k|}q_x} \]
方差
\[\begin{align} Var~[PV_1] & = E~[PV_1^2] - E^2~[PV_1] \\[2ex] & = E~[(v^{K_x + 1})^2] - (A_x)^2 \\[2ex] & = \sum_{k=0}^ \infty (v^{k+1})^2~{_{k|}q_x} - (A_x)^2 \\[2ex] & = \sum_{k=0}^ \infty (v^2)^{k+1}~{_{k|}q_x} - (A_x)^2 \\[2ex] & = {^2A_x} - (A_x)^2 \\ \end{align} \]
\(^2A_x\) 表示利率為 \((1+i)^2 - 1\) 時終身壽險的現值期望，類似的表示方法之后還會用到。
二、定期壽險
定期壽險（term insurance）也是在被保險人死亡時支付保險金，但是不同於終生壽險，它的保險期間是有限的。對應的現金流如下圖：
現值
\[PV_2 = \begin{cases} v^{K_x + 1}, & \text{ if $K_x \lt n$ } \\[2ex] 0， & \text{ if $K_x \ge n$ } \end{cases}\]
期望
\[A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1 = E~[PV_2] = \sum_{k = 0}^{n-1} v^{k + 1}{_{k|}q_x} + \sum_{k = n}^ \infty 0 \cdot {_{k|}q_x} = \sum_{k = 0}^{n-1} v^{k + 1}{_{k|}q_x} \]
方差
\[\begin{align} Var~[PV_2] & = E~[PV_2^2] - E^2~[PV_2] \\[2ex] & = \sum_{k=0}^{n-1} (v^{k+1})^2~{_{k|}q_x} - \left(A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1\right)^2 \\[2ex] & = \sum_{k=0}^{n-1} (v^2)^{k+1}~{_{k|}q_x} - \left(A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1\right)^2 \\[2ex] & = {^2A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1} - \left(A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1\right)^2 \\ \end{align} \]
三、生存保險
生存保險（pure endowment insurance）在被保險人活過約定的時間點時進行支付，它可能的支付時點只有一個：
現值
\[PV_3 = \begin{cases} 0, & \text{if $K_x \lt n$} \\[2ex] v^n, & \text{if $K_x \ge n$} \end{cases} \]
期望
\[A_{x : \enclose{actuarial}{n}} ^{\quad 1}= E~[PV_3] = v^{n}{_np_x} \]
方差
\[\begin{align} Var~[PV_3] &= E~[PV_3^2] - E^2~[PV_3^2] \\[2ex] & = (v^n)^2{_np_x} - \left( A_{x : \enclose{actuarial}{n}} ^{\quad 1} \right)^2 \\[2ex] & = {^2A_{x : \enclose{actuarial}{n}} ^{\quad 1}} - \left( A_{x : \enclose{actuarial}{n}} ^{\quad 1} \right)^2 \\ \end{align} \]
四、兩全保險
兩全保險（endowment insurance）在約定的時間點之前死亡或者活過約定的時間點都會給付保險金：
紅色箭頭包含了兩種可能的支付，一種是被保險人在時段 \((n-1,n)\) 死亡，一種是被保險人活過了時點 \(n\).
現值
\[PV_4 = \begin{cases} v^{K_x + 1}, & \text{if $K_x \lt n$} \\[2ex] v^n, & \text{if $K_x \ge n$} \end{cases} \]
期望
\[A_{x : \enclose{actuarial}{n}} = E~[PV_4] = \sum_{k = 0}^{n-1} v^{k + 1}{_{k|}q_x} + v^{n}{_np_x} \]
方差
\[\begin{align} Var~[PV_4] & = E~[PV_4^2] - E^2~[PV_4] \\[2ex] & = \sum_{k=0}^{n-1} (v^{k+1})^2~{_{k|}q_x} - (v^n)^2 \left( A_{x : \enclose{actuarial}{n}} \right)^2 \\[2ex] & = \sum_{k=0}^{n-1} (v^2)^{k+1}~{_{k|}q_x} - \left( A_{x : \enclose{actuarial}{n}} \right)^2 \\[2ex] & = {^2A_{x : \enclose{actuarial}{n}}} - \left(A_{x : \enclose{actuarial}{n}}\right)^2 \\ \end{align} \]
立即給付
與期末給付相比，立即給付的支付時間由 \(K_x + 1\) 變為了 \(T_x\)，也就是說從離散隨機變為連續隨機變量。相應地，求和符號也變成了積分符號。
一、終身壽險
現值
\[\overline {PV}_1 = v^{T_x} \; , \qquad T_x \ge 0 \]
期望
\[\bar A_x = \int_0^\infty v^t f_{T_x}(t)dt = \int_0^ \infty v^t{_tp_x} \mu_{x+t}dt \]
方差
\[\bar A_x = {^2 \bar A_x} - (\bar A_x)^2 \]
二、定期壽險
現值
\[\overline {PV}_2 = \begin{cases} v^{T_x} , & \text{ if $T_x \lt n$} \\[2ex] 0 , & \text{ if $T_x \ge n$} \end{cases} \]
期望
\[\bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1 = \int_0^n v^t{_tp_x} \mu_{x+t}dt \]
方差
\[Var~[\overline {PV}_2] = {^2 \bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1} - \left ( \bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1\right)^2 \]
三、生存保險
對於生存保險來說期末給付和立即給付沒有區別。
四、兩全保險
現值
\[\overline {PV}_4 = \begin{cases} v^{T_x} , & \text{ if $T_x \lt n$} \\[2ex] v^n , & \text{ if $T_x \ge n$} \end{cases} \]
期望
\[\bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}} = \int_0^n v^t{_tp_x} \mu_{x+t}dt + v^n{_np_x} \]
方差
\[Var~[\overline {PV}_4] = {^2 \bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}}} - \left ( \bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}} \right)^2 \]
一些精算現值之間的關系
確定這些精算現值的關系主要是因為生命表空間有限，只列出了部分精算現值——\(A_{x}, \; (IA)_x\)，通常需要通過轉化到這些已列出的精算現值上進行計算。
-
對於兩全保險，有
-
\({A_{x : \enclose{actuarial}{n}}} = {A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1} + {A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^{\quad 1}}\)
-
\({\bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}}} = {\bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1} + {A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^{\quad 1}}\)
這相當於把兩全保險拆分成了一個定期壽險和一個生存保險。要計算上面的兩個精算現值還需要解決兩個問題，一是如何計算 \({A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1}\) ，二是如何計算 \({\bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1}\) 。
-
對於定期壽險（期末給付），有
- \({A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1} = A_{x} - v^{n}{_np_x}A_{x+n}\)
這里用兩個終身壽險構造出了一個定期壽險的現金流。
-
對分 \(m\) 期給付精算現值的近似
- \(A_{x}^{(m)} = {i \over i^{(m)}}A_{x}\)
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對立即給付精算現值的近似
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假設1：
-
\(\bar A_x \cong (1+i)^{\frac 12} A_x\)
-
\(\bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1 \cong (1+i)^{\frac 12} A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1\)
-
\(\bbox[4px,border:1px solid black] {\bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}} \cong (1+i)^{\frac 12} A_{x : \enclose{actuarial}{n}} + A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^{\quad 1}}\)
-
假設2：
思考：是否有如下關系
\[1+\frac 12 i ~ \cong (1+i)^{\frac 12} ~ \cong ~ \frac i \delta \]
注意：這些精算現值之間的關系並不代表它們所對應的隨機變量之間的關系，因為兩個隨機變量的期望相等並不能推出它們本身相等。事實上，它們一般是不等的。在計算 \({A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1}\) 時我們有
\[{A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1} = A_{x} - v^{n}{_np_x}A_{x+n} \]
但是並沒有
\[PV_{2} = v^{K_{x}+1} - v^{n}{_np_x}v^{K_{x+n}+1} \]
正確關系應該是
\[PV_{2} = \begin{cases} v^{K_{x}+1}, & K_{x} \lt n\\[2ex] v^{K_{x}+1} - v^{n}v^{K_{x+n}+1} & K_{x} \ge n \end{cases}\]
實際上 \(v^{K_{x}+1} - v^{n}v^{K_{x+n}+1} = 0\)，與之前的隨機變量表達式一樣。
