5-32 哥尼斯堡的“七橋問題” (25分) 歐拉回路

哥尼斯堡是位於普累格河上的一座城市，它包含兩個島嶼及連接它們的七座橋，如下圖所示。

可否走過這樣的七座橋，而且每橋只走過一次？瑞士數學家歐拉(Leonhard Euler，1707—1783)最終解決了這個問題，並由此創立了拓撲學。

這個問題如今可以描述為判斷歐拉回路是否存在的問題。歐拉回路是指不令筆離開紙面，可畫過圖中每條邊僅一次，且可以回到起點的一條回路。現給定一個無向圖，問是否存在歐拉回路？

輸入格式:

輸入第一行給出兩個正整數，分別是節點數 $(1\le N\le 10001≤N≤1000)和邊數MM；隨后的MM行對應MM條邊，每行給出一對正整數，分別是該條邊直接連通的兩個節點的編號（節點從1到NN編號）。$

輸出格式:

若歐拉回路存在則輸出1，否則輸出0。

輸入樣例1:

輸出樣例1:

輸入樣例2:

輸出樣例2:

0



第一次我不自量力采用了DFS深度搜索的方式解決，果然最后兩個測試點超時，下面 是我第一次嘗試的代碼：

#include<iostream>
#include<vector>
#define MAX 1000
using namespace std;
int g[MAX][MAX];
int from;
int been[MAX][MAX];
int cnt = 1;
void clear(int n)
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            been[i][j] = 0;
}
bool DFS(int fr, int n, int m)
{
    //int been[MAX][MAX];
    for (int j = 1; j <= n; j++)
    {
        if (j != fr && been[fr][j] == 0 && g[fr][j] == 1)
        {
            //cout<<"fr :"<<fr<<" to "<<j<<endl;
            //cout<<"cnt is "<<cnt<<endl; 
            if (j == from)
            {
                if (cnt == m) return true;
                //cout<<"減啦"<<endl; 
                //cnt--;
                continue;
            }
            cnt++;
            been[fr][j] = been[j][fr] = 1;
            if (cnt == m) return true;
            return DFS(j, n, m);
        }
    }
    return false;
}
int main()
{
    int n, m, a, b;
    cin >> n >> m;
    int temp = m;
    while (temp--)
    {
        cin >> a >> b;
        g[a][b] = g[b][a] = 1;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        clear(n);
        cnt = 1;
        from = i;
        if (DFS(i, n, m)) {
            cout << 1;
            return 0;
        }
    }
    cout << 0;
    return 0;
}

在網上搜索得知這是有關歐拉回路的知識：

歐拉回路：圖G，若存在一條路，經過G中每條邊有且僅有一次，稱這條路為歐拉路，如果存在一條回路經過G每條邊有且僅有一次，

稱這條回路為歐拉回路。具有歐拉回路的圖成為歐拉圖。

判斷歐拉路是否存在的方法

有向圖：圖連通，有一個頂點出度大入度1，有一個頂點入度大出度1，其余都是出度=入度。

無向圖：圖連通，只有兩個頂點是奇數度，其余都是偶數度的。

判斷歐拉回路是否存在的方法

有向圖：圖連通，所有的頂點出度=入度。

無向圖：圖連通，所有頂點都是偶數度。

程序實現一般是如下過程：

1.利用並查集判斷圖是否連通，即判斷p[i] < 0的個數，如果大於1，說明不連通。

2.根據出度入度個數，判斷是否滿足要求。

3.利用dfs輸出路徑。

正確代碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<fstream>
#include<memory>
#include<list>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
#define MAXN  1003
#define LLL 1000000000
#define INF 1000000009
/*
DFS能搜到所有的點
*/
vector<int> E[MAXN];
int pre[MAXN],n,m;
int find(int x)
{
    if (pre[x] == -1)
        return x;
    else
        return pre[x] = find(pre[x]);
}
void mix(int x, int y)
{
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if (fx != fy)
    {
        pre[fy] = fx;
    }
}
int main()
{
    memset(pre, -1, sizeof(pre));
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int f, t;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        E[i].clear();
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d", &f, &t);
        mix(f, t);
        E[f].push_back(t);
        E[t].push_back(f);
    }
    int cnt = 0, num = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (E[i].size() % 2)
            cnt++;
        if (find(i) == i)
            num++;
    }
    if (cnt == 0 && num == 1)
        printf("1\n");
    else
        printf("0\n");
    return 0;
}