圖論1：哥尼斯堡七橋問題的證明

 

圖論1：哥尼斯堡七橋問題的證明

結論的證明

很久很久以前，有個大名鼎鼎的地方，叫哥你是寶哥尼斯堡。。

哥尼斯堡有一條河，河里有兩座小島，兩座小島和周邊的陸地總共有七座橋連接起來。這里風景優美，空氣新鮮，以至於很多市民都喜歡來這邊旅游觀光。

Figure 1. 風景優美，空氣新鮮的哥尼斯堡七橋

 

【NOTE】

紅色方框表示橋，黑色方框表示陸地。

慢慢的，樂於游玩的市民們就想到一個問題： 有沒有一種辦法，可以從任意一個地方出發，然后恰巧每個橋只經過一次，觀賞完所有風景之后又回到起點呢？

市民們使用了各種方式：

 

Figure 2. 這樣的

 

Figure 3. 這樣的

 

Figure 4. 這樣的

……

但不管怎么樣都做不到。。

 

 

於是有人把這個問題寫了封信，寄給了當時大名鼎鼎的數學家歐拉，

致敬歐拉大師

 

歐拉花了一年時間，最終證明了這個問題是無解的！

 

 

那么怎么去證明這個問題無解嘞？

 

歐拉大師先把地圖模型簡化成這樣的二維模型：

 

Figure 5. 風景優美，空氣新鮮的哥尼斯堡七橋

【NOTE】

紅色方框表示橋，黑色方框表示陸地。這地方漂亮極了。

 

於是簡化成了四個點、七條邊，如何證明一個圖形，從任意一點出發，每條邊僅經過一次，最終又回到起點呢？

這個問題還是有點復雜，我們再對問題做一次簡化，把七條邊簡化成一條，把四個點簡化成一個點，那么得到如下模型：

 

Figure 6. 簡化版的陸地和橋

 

這……這不就是一個圓嘛！！

 

我們給圖里的圓下一個定義：

從一個點出發，經過若干條邊和點之后，最終能夠回到原點，整個經過的路徑我們稱之為圓。

 

所以，七橋問題其實等同於畫圓問題！

不管有幾個頂點，也不管有幾條邊，從一點出發最終回到該點，本質上就是畫圓。

所以對於上述證明問題，本質上就是求解能否在圖形上構造出一個圓。

 

對“簡化版的陸地和橋”做一層抽象，其實圖中只具備兩個元素：

A島：連接着X橋。

X橋：首尾兩端都連接着A島。

 

歐拉大師略加思索，得出一個結論，在最簡單的情況下，從能夠從A點畫圓的充要條件為：A點必須具備一個出口，同時也必須具備一個入口。

然后我們可以引入一個概念，將點A的入口/出口的數量統稱為點A的 度 。

 

讓我們再做一次擴展，為A島再建造一座橋：

 

Figure 7. 稍微復雜一點的陸地和橋

路線不管是 A → X → A → Y → A 還是 A → Y → A → X → A，依然可以回到原點。

A島：連接着X橋。

X橋：首尾兩端都連接着A島。

Y橋：首尾兩端都連接着A島。

此時，A島具備了兩個入口和兩個出口（4個度）。

 

之后，我們還可以再建造第三座橋、第四座橋，但不管建造幾座橋，A點的出口數量必須等於入口的數量（即A點的 度 必須是偶數），否則就無法畫圓： 

 

Figure 8. 只有出口或只有入口的A島

 

然后我們再回過頭來看我們的“七橋”。

 

Figure 9. 風景優美、空氣新鮮的七橋

 

其中，A、C、D點的度為3，B點的度為5，都是奇數，這就意味着它沒有能夠畫圓的起點/終點。

所以歐拉大師得到結論：該問題無解！

 

 

歐拉的回路

但歐拉也不愧是數學界的大師，因為他並沒有止步於證明七橋問題無解。

他往前又做了更深一層的思考：

七橋問題既然是無解的，那么什么情況下才能使問題有解呢？

要從一個點出發，最終又能回到同一點的必要條件，是起點的度必須大於0且為偶數。

而其它的點因為不是起點也不是終點，所以不能停留，一旦進入則必須走出去，所以它們的度也必須大於0且為偶數。

最后，為了經過所有的頂點和邊，還必須保證所有的頂點的邊是聯通的，否則無法在圖中只構造出一個圓。

簡而言之就是兩個條件： 1. 所有頂點的度都必須是偶數。 2. 所有的頂點和邊都能夠聯通。

我們隨便畫一個圖驗證一下：

Figure 1. 五角星

所有點的度都是偶數，所以任意一點出發都能回到原點。

C → A → B → D → E → F → G → H → I → J → C → B → E → G → I → C

還有很多其它路徑，咱們就不一一解釋啦。

其實這也很符合一個畫圓的規律：在已知的圓上任取一點，都可以沿着路徑畫出同樣一個完整的圓。

后來，人們把符合上述條件的路徑，稱為 歐拉回路。

 

 

歐拉的路徑

歐拉大師畫完圓了之后，感覺還不得勁，這問題太簡單了。

能不能不回到起點，然后又能一條路走完全場呢？

依然按照之前的思路：

如果不想回到起點，那么起點必須具備的條件為：只能有奇數個度。

終點因為至少需要一次進入了之后再也不會出去，也必須具備一個條件：只能有奇數個度。

而其它的點因為不是起點也不是終點，所以不能停留，一旦進入則必須走出去，所以它們的度也必須大於0且為偶數。

簡而言之也是兩個條件： 1. 只能有兩個頂點的讀為奇數，其他頂點的度必須大於0且為偶數。 2. 所有的頂點和邊都能夠聯通。

我們再隨便畫個圖驗證一下：

Figure 2. 加了一筆的五角星

其中只有I和B兩個點的度為奇數，因此只能從這兩個點出發：

E → C → …… → C（參考沒加一筆的五角星的路徑）

就這么簡單。

后來，人們把符合上述條件的路徑，稱之為歐拉路徑。

這，就是哥尼斯堡七橋的故事。

歐拉大師也因此成為了最早的圖論的研究者之一。

 

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本節涉及到的概念：

圖：

文字表述：包含若干個頂點和若干條邊的集合。

數學表述：圖G是一個有序二元組(V,E)，其中V稱為頂集(Vertices Set)，E稱為邊集(Edges set)，E與V不相交。它們亦可寫成V(G)和E(G)。

 

自環（Loop）：若一條邊的兩個頂點為同一頂點，則此邊稱作自環。

 

度：一個頂點的度是指與該頂點相關聯的邊的條數，頂點v的度記作d(v)。自環邊由於既是入度又是出度，因此度為2。

入度：指頂點與其關聯的各邊之中，以其為終點的邊數。

出度：指頂點與其關聯的各邊之中，以其為起點的邊數。

 

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