算法之矩陣計算斐波那契數列
本節內容
- 斐波那契介紹
- 普通方式求解斐波那契
- 矩陣概念
- 矩陣求冪
- 矩陣求解斐波那契
1.斐波那契介紹
斐波那契數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了后一項。即f(n)=f(n-1)+f(n-2),f(0)=0,f(1)=f(2)=1,推導下去f(3)=2,f(4)=3,f(5)=5。。。。。。
2.普通方式求解斐波那契
按照上面提供的推導公式，普通方式求解斐波那契數列代碼如下：
1 def normal(n): 2 a,b,c=0,1,1 3 while n: 4 a,b,c=b,c,b+c 5 n-=1 6 return a
使用上面的方式求解第n項斐波那契數列的時間復雜度為O(n),也就是說，時間復雜度隨着n的增長而線性增長。
3.矩陣概念
開始，先來介紹一下矩陣的概念：在數學中，矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的復數或實數集合，最早來自於方程組的系數及常數所構成的方陣。
這里不介紹矩陣的各方面知識了，如果那樣的話。。。就是一篇數學筆記了。。。這里只講解矩陣相乘的概念。
矩陣相乘：矩陣相乘最重要的方法是一般矩陣乘積。它只有在第一個矩陣的列數（column）和第二個矩陣的行數（row）相同時才有意義。一般單指矩陣乘積時，指的便是一般矩陣乘積。一個m×n的矩陣就是m×n個數排成m行n列的一個數陣。由於它把許多數據緊湊的集中到了一起，所以有時候可以簡便地表示一些復雜的模型。
設A為m*p的矩陣，B為p*n的矩陣，那么稱m*n的矩陣C為矩陣A與B的乘積，記作C=AB：
4.矩陣求冪
上面已經介紹過了矩陣相乘的概念了，那么，斐波那契該怎么由矩陣標示呢？
從第三項開始，每一項都是前兩項之和。 F(n)=F(n−1)+F(n−2), n⩾3 把斐波那契數列中 相鄰的兩項F(n)和F(n−1)寫成一個2×1的矩陣。
斐波那契數列用矩陣推導如下：
求F(n)等於求二階矩陣的n - 1次方，結果取矩陣第一行第一列的元素。
問題轉換為二階矩陣的n次冪。
而計算二階矩陣的N次冪運算，由於二階矩陣乘法滿足結合律，這樣，可以快速計算二階矩陣的n次冪運算。
假設A為一個二階矩陣，則A的冪運算滿足下面的條件：
A**6=A**3∗A**3
A**7=A**3∗A**3∗A**1=A**4*A**2*A**1
在這里，我們可以類似地把A看做是二進制中的2，2**7=2**4*2**2*2**1也就是說可以把矩陣的冪轉換成二進制來表示。從而可以將n次冪拆解成長度為logn的二進制數來表示：7=111(二進制)。
這就是快速求二階矩陣的核心方法。
5. 矩陣求解斐波那契
前戲做足了，下面就該秀代碼了。
1 def multi(a,b): # 計算二階矩陣的相乘 2 c=[[0,0],[0,0]] # 定義一個空的二階矩陣 3 for i in range(2): 4 for j in range(2): 5 for k in range(2): # 新二階矩陣的值計算 6 c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j] 7 return c 8 9 10 def matrix(n): 11 base=[[1,1],[1,0]] # 元矩陣，這里可以把元矩陣看做是2**0=1 12 ans=[[1,0],[0,1]] # 結果矩陣 最開始的結果矩陣也可以看做是1，因為這個矩陣和任意二階A矩陣相乘結果都是A 13 while n: 14 if n&1: # 取n的二進制的最后一位和1做與運算，如果最后一位是1，則進入if體內部 15 ans=multi(ans,base) # 如果在該位置n的二進制為1，則計算ans和base矩陣 16 base=multi(base,base) # base矩陣相乘，相當於初始base矩陣的冪*2 17 n>>=1 # n的二進制往右移一位 18 return ans[0][1] # 最后獲取到的二階矩陣的[0][1]即f(n)的值
最后把例子的完整代碼貼出來：
1 import time 2 3 4 def multi(a,b): 5 c=[[0,0],[0,0]] 6 for i in range(2): 7 for j in range(2): 8 for k in range(2): 9 c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j] 10 return c 11 12 13 def matrix(n): 14 base=[[1,1],[1,0]] 15 ans=[[1,0],[0,1]] 16 while n: 17 if n&1: 18 ans=multi(ans,base) 19 base=multi(base,base) 20 n>>=1 21 # for i in range(2): 22 # print(ans[i]) 23 return ans[0][1] 24 25 def normal(n): 26 a,b,c=0,1,1 27 while n: 28 a,b,c=b,c,b+c 29 n-=1 30 return a 31 32 n=int(input(">>>")) 33 start=time.time() 34 print("Normal:",normal(n)) 35 print("use:",time.time()-start) 36 start=time.time() 37 print("Matrix:",matrix(n)) 38 print("use:",time.time()-start) 39 #計算結果 40 >>>65536 41 Normal: 731992144602...... 42 use: 0.07219505310058594 43 Matrix: 731992144602...... 44 use: 0.023076772689819336
可以看出來當n的值越來越大的時候，兩種方式計算出結果的時間差距將越來越大，正常的計算時間復雜度是O(n),矩陣求值的時間復雜度是O(logn)。
后記：
由此可以看出，使用推導式f(n)=f(n-1)+f(n-2)求斐波那契的第n項的算法復雜度極限為O(n)，這是一維世界下的極限。將其從一維上升到二維，用二階矩陣推導斐波那契數列時，計算的算法復雜度為O(logn)，也就是說，使用升維的手段將一維空間進行扭曲從而將距離縮短，可以更快的計算出結果。
由此推導出如果人來要突破光速的極限，需要將現有的三維空間升級到四維空間，扭曲空間從而縮短距離，達到突破光速的目的。