工業機器人末端姿態表示-歐拉角，俯仰滾動角

機器人運動學研究時，通常采用矩陣運算形式，所以包括末端關節的各關節空間姿態是向量形式 ，因此至少需要6個參數表達（n,o,a中的兩組），末端關節的姿態在運動學計算時會做為輸入參數，表達末端空間姿態的除用向量組形式外還有歐拉角（Euler Angles）、俯仰滾動角（roll-pitch-yaw）（也稱橫搖角，縱搖角，偏轉角）等，這樣輸入的參數會少些，我知道的廣數GSB-RB8就是采用俯仰滾動角輸入的，在實際操作中需要一個從向量組到角度的轉換；

歐拉角、俯仰滾動角（Tait–Bryan angles）分別參照：

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles#Tait.E2.80.93Bryan_angles

兩者的區別在於旋轉軸及次序，例歐拉角為z-x^’-z^’’,俯仰滾動角則為z-x^’-y^’’，歐拉角為x-y^’-x^’’，則俯仰滾動角則為：x-y^’-z^’’，這需要一定的空間想象。 

向量組轉為歐拉角： 

α=arg(^ra_hx,^ra_hy) 小於零時α=arg(^ra_hx,^ra_hy)+ π 

β=arg(^ra_hx, ^ra_hxCosα + ^ra_hySinα) 

γ=arg(-^ro_hxSinα+ ^ro_hyCosα, -^rn_hxSinα+ ^rn_hyCosα) 

向量組轉為俯仰滾動角： 

ξ = arg(^rn_hx,^rn_hy) 小於零時α=arg(^rn_hx,^rn_hy)+ π 

Ø= arg(^rn_hxCosξ+ ^rn_hySinξ,-^rn_hx,) 

Ψ= arg(-^ro_hxSinξ+ ^ro_hyCosξ, ^ra_hxSinξ - ^ra_hyCosξ) 

arg(x,y)表示復數z=x+iy的幅角，即Atan2(y,x)。

        /// <summary>
        /// 姿態的向量形式轉化為角度形式
        /// </summary>
        /// <param name="ev">向量[n,o,a] = {{nx,ox,ax},{ny,oy,ay},{nz,oz,az}}</param>
        /// <param name="euler">true為歐拉角，否則為俯仰滾動角</param>
        /// <returns>角度數組{α，β，ϒ}</returns>
        public static double[] TransToAng(double[,] ev, bool euler)
        {
            double[] RA = new double[3];
            double nx = ev[0, 0];
            double ny = ev[1, 0];
            double nz = ev[2, 0];
            double ox = ev[0, 1];
            double oy = ev[1, 1];
            double oz = ev[2, 1];
            double ax = ev[0, 2];
            double ay = ev[1, 2];
            double az = ev[2, 2];
            double α, β, ϒ;
            if (euler)
            {
                α = Math.Atan(ay / ax);
                α = α < 0 ? α + Math.PI : α;
                β = Math.Atan((ax * Math.Cos(α) + ay * Math.Sin(α)) / az);
                ϒ = Math.Atan((-nx * Math.Sin(α) + ny * Math.Cos(α)) / (-ox * Math.Sin(α) + oy * Math.Cos(α)));
            }
            else
            {
                α = Math.Atan(ny / nx);
                α = α < 0 ? α + Math.PI : α;
                β = Math.Atan((-nz) / (nx * Math.Cos(α) + ny * Math.Sin(α)));
                ϒ = Math.Atan((ax * Math.Sin(α) - ay * Math.Cos(α)) / (-ox * Math.Sin(α) + oy * Math.Cos(α)));
                ϒ = ϒ < 0 ? ϒ + Math.PI : ϒ;
            }
            RA = new double[] { α * 180.0 / Math.PI, β * 180.0 / Math.PI, ϒ * 180.0 / Math.PI };
            return RA;
        }