一、先放一些相關的結論：
1、傅里葉變換的幅值稱為傅里葉譜或頻譜。
2、F(u)的零值位置與“盒狀”函數的寬度W成反比。
3、卷積定理：空間域兩個函數的卷積的傅里葉變換等於兩個函數的傅里葉變換在頻率域中的乘積。f(t)*h(t) <=> H(u)F(u)
4、采樣定理：如果以超過函數最高頻率的兩倍的取樣率來獲得樣本，連續的帶限函數可以完全地從它的樣本集來恢復。
5、嚴重的混淆甚至會產生完全的誤解效果。
6、變化最慢的頻率分量(u=v=0)與圖像的平均灰度成正比。直流項決定圖像的平均灰度。
7、零平均表示存在負灰度，此時圖像不是原圖像的真實描述，因為所有負灰度為顯示目的的都被修剪過。
8、對高通濾波器加一個小常數不會影響尖銳性，但是它的確能防止直流項的消除，並保留色調。
9、在頻譜圖中,中心部分（uv坐標系中點(0,0)附近）表示原圖像中的低頻部分。
10、如果原始圖像具有十分明顯的規律,例如將一個簡單圖樣有規律的平移並填滿整個圖形,那么其頻譜一般表現為坐標原點周圍的一圈亮點。
11、將一張灰度圖像反相，其頻譜的“樣式”不變。（個人理解：反相只是將黑白顛倒，但並不改變灰度變化處的對比度）
12、如果頻譜圖中暗的點數更多，那么實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小）；反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那么實際圖像一定是尖銳的、邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。
13、高頻分量解釋信號的突變部分，而低頻分量決定信號的整體形象。
所用的傅里葉變換的分析工具是Halcon，代碼如下：
read_image (Image, 'C:/Users/xiahui/Desktop/1.jpg') fft_image (Image, ImageFFT)
二、不同圖像的頻譜圖分析
左邊是原圖，右邊是經傅里葉變換之后的頻譜圖。
1、全黑圖——頻譜圖也全黑（圖像的分辨率是240*240）
2、灰色圖——頻譜圖中央有個單像素的白色的小正方形，坐標是（120,120），值是（30480,0）
3、全白圖——頻譜圖中央有個單像素的白色的小正方形，坐標是（120,120），值是（61200,0）
4、在圖中畫一個圓——頻譜圖呈同心圓狀，最中央（坐標120，120）的值為（3852.64,0），其他地方的值有正有負，趨勢是越靠近中央值的絕對值越大。
5、在圖中畫一個正方形——最中央的值為（5143.03,0），其他地方的值有正有負，趨勢是越靠近中央值的絕對值越大。
6、將上圖中正方形旋轉45度——最中央的值為（5140.22,0），可認為5140.22≈5143.03；其他地方的值有正有負，趨勢是越靠近中央值的絕對值越大。
7、畫兩個圓——最中央的值為（7704.13,0）
8、畫一個白圓、一個灰圓——最中央的值為（5772.82,0）
9、畫四個圓——最中央的值為（15402.8,0）
10、畫2個正方形——最中央的值為（10061.8,0）
11、畫四個均旋轉45度的正方形——最中央的值為（20114.3,0）
12、畫一條直線——最中央的值為（766,0）
13、畫一條傾斜15°的線——最中央的值為（876.571,0）
14、畫一對交叉線——最中央的值為（1194.55,0）
15、畫一個漸變的圓——雖然也是同心圓，不過沒有之前明顯了；最中央的值為（1849.6,0）
16、將整張圖用漸變填充——最中央的值為（30470,0），可以認為這個值跟灰色圖的值（30480）相等。
17、畫一個傾斜15°的漸變條——最中央的值為（12051.9,0）
18、找來一張圖做了不同處理，然后分別觀察它們的 頻譜圖，分別是：
原圖、反相圖、輕度高斯模糊、重度高斯模糊、平均灰度圖、反相平均灰度圖。
處理的代碼如下：
read_image (Image1, 'C:/Users/xiahui/Desktop/1.jpg') read_image (Image2, 'C:/Users/xiahui/Desktop/2.jpg') read_image (Image3, 'C:/Users/xiahui/Desktop/3.jpg') read_image (Image4, 'C:/Users/xiahui/Desktop/4.jpg') read_image (Image5, 'C:/Users/xiahui/Desktop/5.jpg') read_image (Image6, 'C:/Users/xiahui/Desktop/6.jpg') fft_image (Image1, ImageFFT1) fft_image (Image2, ImageFFT2) fft_image (Image3, ImageFFT3) fft_image (Image4, ImageFFT4) fft_image (Image5, ImageFFT5) fft_image (Image6, ImageFFT6)
由上面可以看出，反相以后，圖像的頻譜圖的“樣式”是沒有變化的。但其實值是有變化的，這6幅圖中央點（120,120）的值分別為：
（47235，0）、（13965，0）、（47169.5，0）、（47130.4，0）、（47280，0）、（13920，0）
根據上面的例子，我們還能得出2個結論：
1、如果圖像中有條狀的細線，那么沿着此條狀細線的走向方向，沒有灰度值的變化或變化很小，這樣其頻譜圖就有一條垂直於該條狀細線的亮線。這是因為數字圖像頻譜圖的得出和圖像的灰度變化（梯度）有關。
2、圖像中央點（120,120）的值應該和圖像的平均灰度有關，在例3（全白圖）中，沒有灰度的變化，也就沒有頻率的變化，所有的能量都集中在頻譜圖中央的那個單個白色像素塊中，其值為61200（圖像的分辨率越高，這個極限值越大），在例18中，平均灰度圖頻譜中央點的值為47280，反相平均灰度圖頻譜為13920，而47280 + 13920 = 61200。平均灰度圖的灰度為198，反相平均灰度圖的灰度為57。