狐狸捉兔子問題

1. 問題描述

圍繞着山頂有10個洞，狐狸想要吃兔子，兔子說：“可以，但必須找到我，我就藏身於這10個洞中，你從10號洞出發，先到1號洞找，第二次隔1個洞找，第三次隔2個洞找，以后如此類推，次數不限。”但狐狸從早到晚進進出出了1000次，仍沒有找到兔子。問兔子究竟藏在哪個洞里？

2. 問題分析

(1) 把10個洞編上序號：1,2,3,4,5,6,7,8,9,0

(2) 狐狸從0號洞出發，第1次在1號洞找；第2次隔1個洞，在3號洞找；第3次隔2個洞，在6號洞找；第4次隔3個洞，在0號洞找；第5次隔4個洞口，即在5號洞找；以此類推。

(3) 可見，其實上述問題其實是一個等差數列求和問題（首項為1，公差為1）。將求和結果對10取余（求和結果%10），即可得到狐狸每次進去的洞口號。

(4) 如下圖所示，仔細觀察可以發現，如果狐狸連續兩次都進入出發洞口（0號洞），表明接下來進入洞口的順序與之前的順序相同！因此遇到連續兩次都進入出發洞口的情況，即可停止尋找，因為接下來只是重復之前找過的洞口。

3. 算法描述

(1) 首項為1，公差為1的等差數列求和公式：n*(n+1)/2，n為尋找的次數

(2) 狐狸每次進入的洞口號為：(n*(n+1)/2)%10，對10取余是因為有10個洞口

(3) 設x為尋找的次數，連續兩次進入都是出發時的洞口（0號洞），可停止尋找。設 HOLENUM為洞口的個數，本例是10

     即第x-1次：((x-1)*(x-1+1)/2)%HOLENUM == 0

        第x次：(x*(x+1)/2)%HOLENUM == 0

     一般的，x = 2*HOLENUM。即如果洞口有10個，則需要找20次，就會在遇到連續兩次進入出發的洞口（本例是第19次和第20次）

     特殊的，如果HOLENUM是(2^k +1)，則 x = HOLENUM，(k = 0,1,2,3......)。即如果洞口有15個， 則只需找15次，就會遇到連續兩次進入出發時的洞口（第14次和第15次）

(4) 可見，該算法的時間復雜度與洞口的個數有關，具體的時間復雜度為Θ(n)

 

4. 代碼實現

#include <stdio.h>
#define HOLENUM 10

void FindRibbit(int Hole[HOLENUM]);

int main()
{
    int hole[HOLENUM] = {0};        // 10個山洞
    FindRibbit(hole);
    return 0;
}

void FindRibbit(int Hole[HOLENUM])
{
    int i = 0;
    int currenthole = 0, nexthole = 0;
    for(i = 1; i <= 2 * HOLENUM; ++i)
    {
        currenthole = (currenthole + i) % HOLENUM;        // 當前進去的山洞
        Hole[currenthole % HOLENUM] = 1;
        nexthole = (currenthole + i + 1) % HOLENUM;        // 下一次進去的山洞
        
        if(currenthole == 0    && nexthole == 0)            // 如果連續兩次進去的山洞都是出發時的洞口，則接下來的進洞順序與前面的順序重復，故可以跳出循環
            break;                                        // 本例是從10號(即0號)洞口出發
    }
    
    for(i = 0; i < HOLENUM; ++i)                        // 輸出兔子可能躲藏的洞口
    {
        if(Hole[i] == 0)
            printf("the ribbit may be in %d hole\n", i);
    }
}

5. 測試結果

the ribbit may be in 2 hole
the ribbit may be in 4 hole
the ribbit may be in 7 hole
the ribbit may be in 9 hole