狐狸捉兔子问题

1. 问题描述

围绕着山顶有10个洞，狐狸想要吃兔子，兔子说：“可以，但必须找到我，我就藏身于这10个洞中，你从10号洞出发，先到1号洞找，第二次隔1个洞找，第三次隔2个洞找，以后如此类推，次数不限。”但狐狸从早到晚进进出出了1000次，仍没有找到兔子。问兔子究竟藏在哪个洞里？

2. 问题分析

(1) 把10个洞编上序号：1,2,3,4,5,6,7,8,9,0

(2) 狐狸从0号洞出发，第1次在1号洞找；第2次隔1个洞，在3号洞找；第3次隔2个洞，在6号洞找；第4次隔3个洞，在0号洞找；第5次隔4个洞口，即在5号洞找；以此类推。

(3) 可见，其实上述问题其实是一个等差数列求和问题（首项为1，公差为1）。将求和结果对10取余（求和结果%10），即可得到狐狸每次进去的洞口号。

(4) 如下图所示，仔细观察可以发现，如果狐狸连续两次都进入出发洞口（0号洞），表明接下来进入洞口的顺序与之前的顺序相同！因此遇到连续两次都进入出发洞口的情况，即可停止寻找，因为接下来只是重复之前找过的洞口。

3. 算法描述

(1) 首项为1，公差为1的等差数列求和公式：n*(n+1)/2，n为寻找的次数

(2) 狐狸每次进入的洞口号为：(n*(n+1)/2)%10，对10取余是因为有10个洞口

(3) 设x为寻找的次数，连续两次进入都是出发时的洞口（0号洞），可停止寻找。设 HOLENUM为洞口的个数，本例是10

     即第x-1次：((x-1)*(x-1+1)/2)%HOLENUM == 0

        第x次：(x*(x+1)/2)%HOLENUM == 0

     一般的，x = 2*HOLENUM。即如果洞口有10个，则需要找20次，就会在遇到连续两次进入出发的洞口（本例是第19次和第20次）

     特殊的，如果HOLENUM是(2^k +1)，则 x = HOLENUM，(k = 0,1,2,3......)。即如果洞口有15个， 则只需找15次，就会遇到连续两次进入出发时的洞口（第14次和第15次）

(4) 可见，该算法的时间复杂度与洞口的个数有关，具体的时间复杂度为Θ(n)

 

4. 代码实现

#include <stdio.h>
#define HOLENUM 10

void FindRibbit(int Hole[HOLENUM]);

int main()
{
    int hole[HOLENUM] = {0};        // 10个山洞
    FindRibbit(hole);
    return 0;
}

void FindRibbit(int Hole[HOLENUM])
{
    int i = 0;
    int currenthole = 0, nexthole = 0;
    for(i = 1; i <= 2 * HOLENUM; ++i)
    {
        currenthole = (currenthole + i) % HOLENUM;        // 当前进去的山洞
        Hole[currenthole % HOLENUM] = 1;
        nexthole = (currenthole + i + 1) % HOLENUM;        // 下一次进去的山洞
        
        if(currenthole == 0    && nexthole == 0)            // 如果连续两次进去的山洞都是出发时的洞口，则接下来的进洞顺序与前面的顺序重复，故可以跳出循环
            break;                                        // 本例是从10号(即0号)洞口出发
    }
    
    for(i = 0; i < HOLENUM; ++i)                        // 输出兔子可能躲藏的洞口
    {
        if(Hole[i] == 0)
            printf("the ribbit may be in %d hole\n", i);
    }
}

5. 测试结果

the ribbit may be in 2 hole
the ribbit may be in 4 hole
the ribbit may be in 7 hole
the ribbit may be in 9 hole