從數學角度來研究過河問題
一、問題描述
在漆黑的夜里，甲乙丙丁共四位旅行者來到了一座狹窄而且沒有護欄的橋邊。如果不借助手電筒的話，大家是無論如何也不敢過橋的。不幸的是，四個人一共只帶了一只手電筒，而橋窄得只夠讓兩個人同時過。如果各自單獨過橋的話，四人所需要的時間分別是1、2、5、8分鍾；而如果兩人同時過橋，所需要的時間就是走得比較慢的那個人單獨行動時所需的時間。問題：如何設計一個方案，讓這四人盡快過橋。
二、問題答案
兩人過橋后，需要把手電筒送回，最容易想到的是讓最快的人擔任來回送電筒。因此，第一種辦法：先讓甲乙過去（2分鍾），甲回來（1分鍾），甲丙過去（5分鍾），甲回來（1分鍾），甲丁再過去（8分鍾），總共需要17分鍾就可以讓四個人都過去。
而正確答案是第二種辦法：先讓甲乙過去（2分鍾），甲回來（1分鍾），丙丁過去（8分鍾），乙回來（2分鍾），甲乙再過去（2分鍾），總共需要15分鍾就可以讓四個人都過去。這種方法的關鍵點，讓兩個最慢的人同時過橋。
三、擴展
把四人所需要的時間，改變一下分別，是1、4、5、8分鍾。
第一種方法：先甲乙過去（4分鍾），甲回來（1分鍾），甲丙過去（5分鍾），甲回來（1分鍾），甲丁再過去（8分鍾），總共需要19分鍾就可以讓四個人都過去。
第二種方法：先讓甲乙過去（4分鍾），甲回來（1分鍾），丙丁過去（8分鍾），乙回來（4分鍾），甲乙再過去（4分鍾），總共需要21分鍾就可以讓四個人都過去。
這一次，兩個最慢的人一起過去反而更慢了。
這兩次方案的差異：次快的人要不要也傳遞一次手電筒。
假定四個人過河時間是T1,T2,T3,T4且T1＜T2＜T3＜T4，如何選擇過橋方案。
第一種過河方法的總時間為：T2＋T1＋T3＋T1＋T4
第二種過河方法的總時間為：T2＋T1＋T4＋T2＋T2
二者之差為：（T1＋T3）-2T2。
結論：如果（T1＋T3）大於2T2，第二種方法優；如果（T1＋T3）小於2T2，第一種方法優；如果（T1＋T3）等於2T2，兩種方法無差異。
四、問題推廣
現在我們把這個問題推廣：如果有N（N大於等於4）個旅行者，假設他們有各自所需的過橋時間有快有慢，各不相同。在只有一只手電筒的情況下，要過上述的一條橋，怎樣才能找到最快的過橋方案？
現在我們假定，N個人單獨過橋的時間分別是T1,T2,T3,……,Tn，且滿足T1＜T2＜T3＜…… ＜Tn。
經過分析，要滿足最快過橋，合理的安排包括以下幾點：
1）讓最快的送手電筒的次數盡可能多些。
2）某些方案中，次快的也送電筒也可能會電筒。
3）讓慢的過橋次數盡可能少些；
4）最快的兩個先過橋，以保證此二人是能來回送電筒的人；
借助上述結論，來逐步分析多人情形。
當N=5人時，第一次先T1、T2兩人過橋，T1把電筒送回，沒過橋的又變成了T1、T3、T4、T5的4人情形。這個時候，需要比較T1＋T4與2T3的大小嗎？
第一種方案，還是選擇T1來回送電筒，過橋總時間：為T2＋T3＋T1＋T4＋T1＋T5
第二種方案，讓慢的一起走，但因為送回電筒的不是T3，而是更快一點的T2,總過橋時間：T2＋T5＋T2＋T3＋T1＋T2。
兩種方案兩者之差為T1＋T4－2T2，這里與T3沒有關系。
當N=6人時，第一次先T1、T2兩人過橋，T1把電筒送回，沒過橋的又變成了T1、T3、T4、T5、T6 的5人情形。按照剛才的分析，要比較T1＋T5－2T2的大小。
以此類推，兩種方案的差異，只與最快的人、次快的人和次慢的人的單獨過橋時間有關，而與其他人的快慢無關。