1、小波分析的發展
在傳統的傅里葉分析中，信號完全是在頻域展開的，不包含任何時域的信息，因為信號的頻域非常重要，這樣的處理對某些領域來說是很恰當的。但其丟棄的時域信息對於某些領域來說同樣的很重要，，所以人們對傅里葉變換進行了推廣，提出了很多能表征時域和頻域信息的嘻哈處理方法。如短時傅里葉變換，Gabor變換，時頻分析，小波變換等。短時傅里葉變換只能在一個分辨率上進行，對很多應用來說不夠精確，存在很大缺陷。小波分析克服了短時傅里葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特點。在時域和頻域都有表征信號局部信息的能力，時間窗和頻率窗都可以根據信號的具體形態來動態調整。
加窗傅里葉變換：
小波變換：
一組小波基函數是通過尺度因子和位移因子由基本小波產生的，對於實數對（a，b），參數啊為非零參數。（6）稱為由小波母函數生成的依賴於參數對（a，b）的連續小波函數，簡稱小波。其中：a稱為伸縮因子，b為平移因子。
2、連續小波變換與離散小波變換（DiscreteWavelet Transform, DWT）
連續小波變換存在信息表述的冗余性，是由於連續小波變換恢復原信號的重構公式是不唯一的，小波變換的核函數￠(a,b)存在許多可能的選擇.為了重構信號，針對變換域的變量a.b進行離散化，以消除冗余。也就是說，將小波基函數￠a,b(t)ψ的參數限制在一些離散點上取值。
3、信號的分解
傅里葉級數將周期信號分解為了一個個倍頻分量的疊加，基函數是正交的，也就是通常所說的標准正交基．通過分解我們就能將特定的頻率成分提取出來而實現特定的各種需要，如濾波，消噪等，傅里葉變換則將倍頻譜轉換為了連續譜，其意義差不多．小波變換也是一種信號分解思想：只不過它是將信號分解為一個個頻帶信號的疊加．其中的低頻部分作為信號的近似，高頻部分作為信號的細節．所謂的細節部分就是一組組小波分量的疊加，也就是常說的小波級數。
4、尺度函數與小波函數
小波函數是由尺度函數構造的，尺度函數的性質決定了小波函數的性質。尺度函數從濾波器的角度看是低通濾波器，而小波函數是高通濾波器。尺度函數又稱為小波父函數.根據雙尺度方程,可以由尺度函數生成小波.進行信號處理時,先要對信號進行副近.也就是用尺度函數對信號進行分解.尺度函數的頻帶與待分析信號的頻帶相同,然后將逼近函數分別在尺度空間和小波空間中進行分解.就得到了信號的低頻粗略部分和高頻細節部分.此時新的尺度函數頻帶是原信號頻帶的一半.小波函數的頻帶是另一半(高頻部分).由此實現了對原信號的按頻帶分解!
5、小波分析與傅里葉分析的比較
小波分析可以說是一種廣義上的傅里葉分析，小波分析的存在性證明，小波基的構造及結果分析都以來傅里葉分析，兩者相輔相成，比較后有以下特點：
(1)傅里葉分析實質是吧能量有限的信號f(t)分解到{ejwt}為正交基的空間上去；小波分析的實質是吧能量有限的信號f(t)分解到W-j（j=1,2,…J）和W-j所構成的空間上去。
(2)傅里葉用到的基函數只有sin(wt),cos(wt),exp(jwt),具有唯一性；小波用到的函數則不具有我唯一性，同一個工程用不同的小波函數分析有時結果相差甚遠，小波函數的選取是小波分析應用中的一個難題，目前往往通過經驗和不斷實驗來選擇小波函數。
(3)在頻域中，傅里葉分析具有具有良好的局部化能力，特別是對於那些頻率成分比較簡單的確定性信號，傅里葉分析很容易把信號表示成各頻率成分疊加和形式，但是在時域中，傅里葉分析沒有局部化能力，即無法從信號f(t)的傅里葉分析F(W)中看出f(t)任一時間點附近的形態。因為F(W)是關於w的諧波分量的振幅，在傅里葉展開形式中，它是由f(t)的整體形態決定的。
(4)在小波分析尺度中，尺度a的 值越大，傅里葉分析中w的值越小。
(5)如果用信號通過濾波器來解釋，他們的不同之處在於：對短時傅里葉變換，帶通濾波器的帶寬與中心頻率無關，相反，小波分析帶通濾波器的帶寬則正比於中心頻率，稱之為等Q結構（Q為濾波器的品質因數）。
6、小結
小波分解可以使人們在任意尺度觀察信號，只需所采用的小波函數的尺度合適。小波分解將信號分解為近似分量和細節分量，它們在應用中分別有不同的特點。比如，對含有噪聲的信號，噪聲分量的主要能量集中在小波分解的細節分量中，對細節分量做進一步處理，比如閾值處理，可以過濾噪聲。