旋轉矩陣的數學原理

一、從寇克曼女生問題講起

旋轉矩陣涉及到的是一種組合設計：覆蓋設計。而覆蓋設計，填裝設計，斯坦納系，t-設計都是離散數學中組合優化問題。它們解決的是如何組合集合中的元素以達到某種特定的要求。

為了使讀者更容易明白這些問題，下面先從一道相當古老的數學名題講起。

(一)寇克曼女生問題

某教員打算這樣安排她班上的十五名女生散步：散步時三名女生為一組，共五組。問能否在一周內每日安排一次散步，使得每兩名女生在這周內一道散步恰好一次？

看起來題目似乎很簡單，然而它的徹底解決並不容易。事實上，寇克曼於1847年提出了該問題，過了100多年后，對於一般形式的寇克曼問題的存在性才徹底解決。

用1-15這15個數字分別代表這15個女生，下面給出一組符合要求的分組方法：

星期日：(1，2，3)，(4，8，12)，(5，10,15)，(6，11,13)，(7，9，14)

星期一：(1，4，5)，(2，8，10)，(3，13,14)，(6，9，15)，(7，11,12)

星期二：(1，6，7)，(2，9，11)，(3，12,15)，(4，10,14)，(5，8，13)

星期三：(1，8，9)，(2，12,14)，(3，5，6)，(4，11,15)，(7，10,13)

星期四：(1，10,11)，(2，13,15)，(3，4，7)，(5，9，12)，(6，8，14)

星期五：(1，12,13)，(2，4，6)，(3，9，10)，(5，11,14)，(7，8，15)

星期六：(1，14,15)，(2，5，7)，(3，8，11)，(4，9，13)，(6，10,12)

該問題就是最典型的組合設計問題。其本質就是如何將一個集合中的元素組合成一定的子集系以滿足一定的要求。表面上看起來，寇克曼女生問題是純粹的數學游戲，然而它的解卻在醫葯試驗設計上有很廣泛的運用。

寇克曼女生問題是t-設計中很特殊的一類——可分解斯坦納設計。下面我會詳細解釋這幾個名詞的含義。

(二)幾種組合設計的含義

所謂t-設計是“策略組態，Tactical Configuration”的簡稱。

不妨用數學語言來定義t-設計：

\(S=\{S_1,S_2,...,S_v\}\)是一個包含有\(v\)個元素的集合；

\(B_1,B_2,...,B_b\)是\(S\)的\(b\)個子集，而它們包含的元素個數和都是\(k\)個；

\(B=\{B_1,B_2,...,B_b\}\)是由這\(b\)個子集組成的集合(子集系)，

對於固定整數t，和S的任意一個t元子集(t≥1)，如果包含該子集的\(B\)中子集的個數都是同一個常數\(\lambda t\)，則稱\(B=\{B_1,B_2,...,B_b\}\)是集合\(S\)上的一個\(t-(v,k,\lambda t)\)設計，簡稱t-設計。

如果\(t-(v,k,\lambda t)\)設計中，\(t=2, \lambda=1\),則稱為斯坦納系(Steiner)。在該領域，我國已故的數學家陸家羲作出的巨大的貢獻，如今每一本講組合設計的書講到這個問題，就不能不提到他的大名和以他的名字命名的定理。至今為止，斯坦納系仍然存在着許多未解決的問題，至今還沒有解決\((17,5,4=476)\)和\(S(18,6,5=1428)\)的存在或不存在。雖然它的參數顯得很小。

而旋轉矩陣涉及的則是另一種更加復雜、參數更多的組合設計——覆蓋設計。

覆蓋設計是一種經過精心設計的b個區組組成的子集系，其中每個區組都有\(k\)個元素組成。它可以確保如果選出\(k\)個元素，有\(m\)個在其中，至少有\(\lambda\)個區組中的元素有\(t\)個元素符合。區組中元素的順序與區組的排列順序不影響覆蓋設計本身。

\((c:v,k,t,m,\lambda=b)\)

可以用數學語言來定義比較簡單的覆蓋設計：

\(S=\{S_1,S_2,...,S_v\}\)是一個包含有\(v\)個元素的集合；

\(B_1,B_2,...,B_b\)是\(S\)的\(b\)個子集，而它們包含的元素個數都是\(k\)個；

\(B=\{B_1,B_2,...,B_b\}\)是由這\(b\)個子集組成的集合(子集系)。

對於固定整數\(t\)，和\(S\)的任意一個\(t\)元子集(\(t\ge 1\))，如果該子集至少包含在\(B\)的\(\lambda\)個區組中，則稱\(B=\{B_1,B_2,...,B_b\}\)是集合\(S\)上的一個\(c-(v,k,\lambda t)\)設計，簡稱覆蓋設計。

填裝設計是與覆蓋設計相反的設計：

\(S=\{S_1,S_2,...,S_v\}\)是一個包含有\(v\)個元素的集合；

\(B_1,B_2,...,B_b\)是\(S\)的\(b\)個子集，而它們包含的元素個數都是\(k\)個；

\(B=\{B_1,B_2,...,B_b\}\)是由這\(b\)個子集組成的集合(子集系)。

對於固定整數\(t\)，和S的任意一個\(t\)元子集(\(t \ge 1\))，如果該子集至多包含在\(B\)的\(\lambda\)個區組中，則稱\(B=\{B_1,B_2,...,B_b\}\)是集合\(S\)上的一個\(p-(v,k,\lambda t)\)設計，簡稱填裝設計。

t-設計又叫恰好覆蓋與恰好填裝。t-設計不一定存在，而覆蓋設計一定存在。t-設計中，\(\lambda=1\)，而覆蓋設計一般\(\lambda>1\)。此外，t-設計中\(m=t\)，所以t-設計只是覆蓋設計中比較特殊的一種。

只要\(b\)足夠大，顯然覆蓋設計一定存在。而有意義的是找到\(b\)的最小值，並找出在上最小值下的覆蓋設計，此時的覆蓋設計叫做最小覆蓋。尋找最小覆蓋的問題是組合優化問題的一類，被稱為集合覆蓋問題(SCP，Set covering problem)，與著名的推銷員旅行問題或成本最小化、利潤最大化問題，都是優化問題的一種。

但是集合覆蓋問題往往經這些問題更加困難。因為其它問題往往已經有比較成熟的、固定的方法。而覆蓋設計並沒有通用的公式，所以大部分的設計即使用如克雷般超級電腦也很難求出，全盤搜索的算法耗用時間將會是一個天文數字。

這方面，算法就顯得相當重要。Oester Grad教授創造出一種全新的模擬算法，它大大提高了求解覆蓋設計的速度，但它不能保證找到的覆蓋設計一定是最小覆蓋設計。它具有很強的通用性。而之前的其他算法往往只能解決固定某些參數的特定問題，解決的往往只是一類問題。

對覆蓋設計的研究始於19世紀，1835年J·Plue Cker和W.S.B.Wool House(1844)開始研究此類問題。

到了1969年，人們發現它對軍隊中布陣與戰略設計以及計算機芯片設計都大有用途，因此得到了迅速發展。在統計上，醫葯設計，農業試驗，核研究，質量控制甚至在彩票中都大有用途。

組合設計問題往往來自於智力游戲，對它們的研究也是純數學的。但是當研究逐漸深入時，人們逐漸地在生產與其他學科中發現了它的用武之地。這樣對它的研究就有了更強大的動力，吸引了更多人的注意，成果也就更加豐富。

在選7的彩票涉及的旋轉矩陣中，所有的(6，六)型和(5，五)型旋轉矩陣都是t-設計。而一般的旋轉矩陣都是覆蓋設計。由於數學上對t-設計研究的比較多，所以有時候我們可以利用t-設計生成一些覆蓋設計。

如以下的設計即為一個\(t-(10,3,3)\)設計，它在有限射影幾何中有很廣泛的運用。

B：(2，3，4)，(1，5，10)，(1，6，9)

(1，7，8)，(2，9，10)，(3，8，10)

(4，8，9)，(4，6，7)，(3，5，7)，(2，5，6)

即1-10每個數字都出現了3次，而且每兩個數字恰好一起出現1次。從它可以生成10注10個號(7，六)型矩陣(它相當對稱，平衡但不是最優的)，具體生成方法很簡單，取每一組的剩余的7個數就可以生成對應的一組。

(三)組合設計的研究內容

1.存在性問題

若給出要求，研究符合要求的組合設計是否存在，以及存在的條件問題。比如，彩票中的覆蓋設計問題，它的存在性就不是問題，因為只要注數足夠多，總是可以覆蓋的(它的上限為復式投注即完全組合，有意義的是它的下限)。而t-設計又叫恰好覆蓋，它的存在性就是一個很值得研究的問題，也就是說，參數要符合什么條件，才會存在恰好覆蓋一次的設計。

對存在性的研究更多的是從理論上。然而，對於一般情形的t-設計是否存在的問題，還遠遠沒有解決。

2.構造問題

如果已知某種組合設計存在時，如何把它們構造出來？這是與實際應用聯系最緊的問題。實際上，最終無論在彩票中，還是新葯設計中，人們關心的是構造出的組合設計。經過數學家上百年的努力，現在已經有一些構造方法。如利用有限的射影幾何，關聯矩陣，數論中的差集等構造出大量的設計。用組合論自身也能解決一些構造問題。然而，對於一般情形的組合設計的構造性問題離解決還相當遙遠。比如彩票中覆蓋設計問題(即旋轉矩陣)當參數變大時，設計的難度是幾何級數上升。

對於一般的最小覆蓋問題，仍然沒有通用的構造方法。也就是說，目前市場上出現的許許多號碼比較多的旋轉矩陣，都很難保證是最小覆蓋設計，也就是無法保證它是最優的。很多旋轉矩陣不斷地有人刷新它的下限紀錄，也就是越來越接近最小覆蓋設計。然而，要證明一個旋轉矩陣是否已經是最小覆蓋設計，是極其困難的，如果號碼很少，還可以通過計算機編程用窮舉的方式來解決，而號碼稍微多一點，用窮舉法超級電腦運算所耗用的時間也將是天文數字。

3.組合設計之間的關系

例如：一個組合設計是否與另外一個組合設計本質上一樣的(同構)。比如把組合中某兩個數字互換，這兩個設計應該算同一種設計。每一種設計的同構設計是非常多的。有些同構是很難直接看出的，所以就需要研究同構的設計有什么特點，如何准確快速的判斷和產生同構設計。

組合設計還研究如何由一個組合設計構造出另外一個。

比如旋轉矩陣中存在着這樣的問題，比如10個號碼01-10，開始我先選定3注：

01,02,03,04,05,06,07,

01,03,05,07,08,09,10,

02,04,06,07,08,09,10

問如何添上盡可能少的注數，使它成為(7，六)型平衡式矩陣。

又如一個旋轉矩陣與另外一個旋轉矩陣是否同構。即使兩個旋轉矩陣所有參數都相同，也不一定同構。然而，在實際運用中，人們並不關心同構問題。因為只要能用就行了。

又如10個號碼(7，六)型的有8注，比如是01-10這10個號碼，問能否在這基礎上添上盡可能少的注數，使得它成為11個號碼的(7，六)型的旋轉矩陣(01-11)。

4.計數問題

如果已知某類組合設計存在，自然希望知道這類設計的個數。也就是說互不同構的設計的個數。然而，這個問題是一個極其艱難的問題，現在還很少人去研究它。

比如很簡單的10個號碼的(7，六)型矩陣，共有多少種。號碼一多，這將是一個很困難的問題。

5.最優設計

在諸多的滿足要求的組合設計中，找到一個最優的設計，這是它研究的內容。比如覆蓋設計很多，如何找出最小覆蓋設計就是一具艱難的問題。旋轉矩陣中需要用到組合優化的算法與組合構造算法。

二、旋轉矩陣的主要算法

(一)對旋轉矩陣做出突出貢獻的主要數學家

旋轉矩陣是一個看似簡單實際卻異常復雜的問題，盡管有許許多多的人對它非常感興趣，然而真正在這個領域內做出了開創性貢獻的人卻不是很多。要想在此領域有所作為，不僅要對組合設計的經典理論和常用方法有深入的了解，還要在此基礎上有所創新。有許多國外的彩票專家，比如美國的蓋爾·霍華德女士，聲稱旋轉矩陣是由她首先提出來的。實際上，所有的旋轉矩陣都是組合數學家們經過多年的精心研究得出的，而不是霍華德這樣的彩票專家所能研究出來的。

在此領域內做出了突出貢獻的主要組合數學家有以下幾位：

1.Patric Osergard

他的主要貢獻是用了全新的模擬冷卻算法解決了旋轉矩陣的構造問題，運用他的模擬冷卻程序，可以很迅速的產生許許多多的旋轉矩陣。

2.Alex Sidorenko

他研究出了許多旋轉矩陣和幾種產生旋轉矩陣的基於圖靈理論的一般方法。

3.Greg Kuperberg

他注意到線性的[v,t]編碼的補集可以給出區組長度不定的覆蓋設計，而這可以產生對現有的旋轉矩陣的一系列改進。

4.Dan Gordon

他不僅是覆蓋設計領域內多篇經典論文的合作者，而且總結了所有的旋轉矩陣的成果，並且時時關注着該領域的最新進展。他收集的旋轉矩陣是迄今為止最全面、最權威的。而這一切全憑他個人的興趣，沒有任何經費的支持。

以下我將對以上的數學家作一些介紹：

Dan Gordon是聖地亞哥的通訊研究中心的研究員。個人興趣：計數理論、組合學、代數分析。

Greg Kuperberg是美國加州大學的數學系的副教授。主要研究方向是復雜性分析和微積分。他在覆蓋設計的主要論文有：

(1)Asymptotically optimal covering designs(with Daniel Gordon,Oren Patashnik,and Joel Spe-ncer).J.Combin.Theory Ser.A 75(1996),page 270-280.

(2)Highly saturated packings and reduced coverings(with Gabor Fejes Toth and Wlodzimierz Kuperberg).Monats.Math.125(1998),page 127-145.

Patric Ostergard是芬蘭赫爾辛基理工大學計算科學和工程系的教授。

他的興趣集中在數學和計算機科學中系列問題。他的主要研究方向可分為以下幾類：

(1)組合結構的設計

編碼(覆蓋編碼，糾錯編碼等等)

組合設計

幾何填裝和覆蓋問題

(2)局部搜索的優化

模擬冷卻算法

禁忌搜索

全局優化的隨機方法

(3)加密與解密

他是1996寇克曼獎的得主，這個獎是由國際組合學協會頒發的，以已故的著名組合學家寇克曼的名字來命名，用來獎勵對組合學有突出貢獻的數學家。除此之外，他還是組合設計雜志的編輯。

他在覆蓋設計的主要貢獻是彩了模擬冷卻方法研究出了全新的構造覆蓋設計的全新方法。

他在此領域的主要論文：

Nurmela,K.J.and Ostergard,P.R.J.“Constructing Covering Designs by Simulated Annealing”,Helsinki University of Technology Digital Systems Laboratory Series B:Technical Reports,No.10；January,1993.

(二)旋轉矩陣的主要算法

旋轉矩陣的定義是很容易明白的，一般的業余數學愛好者理解沒有任何障礙。然而，如何快速有效的構造旋轉矩陣是一個數學家們一直在研究的問題。當然，這其中最關鍵的就是算法。而近年來最好的算法無疑是模擬冷卻算法，它主要是由Patric Ostergard首創，並且得到了許多后來者的發展。

下面我簡要介紹一下他論文所用的算法的主要思想。

1.Simulated Annealing模擬冷卻算法

模擬冷卻算法是一種隨機搜索方法，它的主要特點是不用窮遍集合中每一種可能性就可以找到最優或幾乎最優的狀態。它是通過模擬一個分子系統的自然冷卻過程來做到這一點的。在每一種狀態，它隨機地選擇了一種相鄰的狀態，如這種相鄰的狀態有一個更低的成本，系統將會轉移到該狀態。如果這種相鄰的狀態有一個更高的成本，系統將可能會轉移到該狀態，也可能不會轉移到該狀態。轉移的概率依賴現在的狀態的溫度參數(該值越高，轉移的概率越大)和兩個狀態之間的成本的差異(差異越大，轉移的概率越大)。溫度將會漸漸低下來，最終會達到均衡。模擬冷卻算法常常用來嘗試發現離散數學中一些問題的幾乎最優的解。

模擬冷卻算法的一般步驟如下：

1. 給定一個初始狀態和初始溫度
2. 外部循環
   1. 內部循環
      1. 隨機選擇一個相鄰狀態。若相鄰狀態的成本更低，轉移
      2. 若相鄰狀態的成本更高，轉移的概率為exp{-成本差異/溫度}
   2. 降低溫度
3. 返回所遇到的最優狀態

模擬冷卻算法的設計者需要選擇以下6個參數：

• 初始溫度和初始狀態
• 一種狀態的成本函數
• 一種狀態的相鄰函數
• 冷卻程序
• 內部循環方法
• 外部循環方法

初始狀態和初始溫度實際上對算法影響不大，成本函數一般來說也比較容易定義，尤其是對覆蓋設計來說,成本可以定義成重復數字的總個數。相鄰函數也可以隨機挑選一個向量來解決。而有效的冷卻程序一般用T'=rT，這里T指原來的溫度，T'是新的溫度，r是常數，也叫冷卻因子。

Patric Ostergard的關於覆蓋設計的經典論文基本上就是如此定義模擬算法的參數的。

運用該算法，可以很容易算出一般的旋轉矩陣。

除了模擬冷卻算法之外，還有另外一些構造旋轉矩陣的常用方法。

2.非連通的集合來結合覆蓋設計

如果對某個\(v=v_1+v_2\)和所有的\(t_1+t_2=t\)，都有大小為\(N_1\)的覆蓋設計\((v_1,k_1,t_1)\)和大小為\(N_2\)的覆蓋設計\((v_2,k_2,t_2)\)存在，那么將有大小為\(N=N_1*N_2\)的覆蓋設計存在。然而，可以用這種方法產生的旋轉矩陣數量很少，而且構造的過程也很復雜。很少的旋轉矩陣是用這種方法產生的。

3.貪婪算法

這種算法產生了許多許多的旋轉矩陣，這種算法的核心思想是：每個區組都盡可能少重復前面區組的數字，一直重復下去，直到你得到一個覆蓋設計。你可以用順序、逆序或灰色、隨機的順序來重復這個過程。或者可以用你所喜歡的其它順序。事實上，筆者起初的時候正是用這個方法來產生一些比較簡單的矩陣，但是這種算法看起來容易，實際上卻十分繁瑣，如果不用計算機，即使是很簡單的矩陣，也要耗費無數的精力。而且，這種算法只能保證可以產生旋轉矩陣，卻無法保證產生的旋轉矩陣一定是最優的。當參數很大時，用它產生的矩陣離最優的矩陣還差的很遠。

但是，可以用這種方法產生旋轉矩陣，然后利用其他的優化算法對它再進一步優化，這樣可以產生比較優良的旋轉矩陣。

4.誘致算法

Greg Kuperberg是這種算法的主要創立者和提倡者。

先利用一個巨大的參數為\((V,K,t)\)的旋轉矩陣，從\(V\)個點中按照某種順序或完全隨機的選出\(v\)個點，然后將用他們原來的長度為K的區組隔斷，得到了每個區組個數不定的一個覆蓋。最后，將這個覆蓋進行如下的修補即可：對每一個長度為1的區組，將該區組替換成一個\((1,k,t)\)的覆蓋設計。這是一種比較復雜的算法，然而，卻是迄今最好的算法之一。

運用它可以產生優化程度比較高的矩陣。然而，運用這種算法的一個很大的限制是，必須要有一個參數很大的旋轉矩陣和許許多多的參數比它小的矩陣。

這樣的條件比較苛刻，所以它的運用不是十分廣泛。

三、旋轉矩陣如何提高中獎概率

(一)對彩票中一些常用的概率的理解

彩票之所以能夠吸引成千上萬的彩民，是因為它給許多人提供了一夜暴富的機會。而且成本很小，兩元錢的投入就可能帶來數以百萬的回報。然而，它的每百萬的大獎都是由上百萬張沒有中獎的彩票提供的。中大獎的機會微乎其微，這正是彩票的本質與魅力根源。

盡管彩票中大獎的機會都十分小，然而各種不同彩票中大獎的概率還是有大差別的，比如32選7的北京風采中一等獎的概率為：

而36選7的北京體彩中一等獎的概率僅為：

簡而言之，彩票號碼球的個數越少，中大獎的機會就越大，而同樣數目的號碼球，選5型的比選7型的中大獎的機會更大。當然，天下不會有免費的午餐，中大獎的機會越大，大獎累種的獎金額越小。越難中的大獎，它累積的大獎金額越高。

一些人買彩票的心態可以分為兩種，一種是瞄准百萬大獎的，夢想着有朝一日可以改變自己的生活。這種彩民一般並不在意中獎的機會有多渺茫，而比較關心本期累積的大獎獎金有多高。另一種則更希望經常在彩市中有所斬獲得一些不大不小的獎。這種人比較適合玩中獎機會稍大的彩票，如上海的天天彩與體彩的“四花選四”。這兩種彩票中獎機會都比較高。

除了考慮獎金最高的一等獎，還要考慮次等級的二等獎、三等獎，它們的獎金雖不如一等獎那么高，也頗為豐厚。那么，如果買單注的話，中這些級別的獎的概率都可以算出來。但是，如果買多注的話，如何計算中各個級別的概率呢？如果這些注數胡亂買的，相互之間沒有經過科學組合，那么應該如何估計中獎概率呢？

旋轉矩陣利用科學的組合方式提高了這種中獎概率。

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(二)組合投注的中獎概率分析

不妨舉個例子，以北京體彩(36選7)為例進行分析。比如我買了一注，那么中二等獎(6個正選號，無特別號)的概率可以用如下方法計算：

現在我想買10個號，如果用復式投注的話，需要買120注，中二等獎的概率可以這樣計算：因為只有選的10個號中至少有6個正選號才可能出現二等獎。復式投注實際上由於各注之間重復的號碼太多可以效率很低。

如果用旋轉矩陣來投注的話，10個號碼，需要購買10注。旋轉矩陣的含義是，只要選的10個號中包含了7個正選號，一定含有二等獎。如果10個號中包含了6個正選號，也有可能有二等獎。

各種方式具體中獎概率比較：

1.假設用復式投注

若10個號碼中含全部正選號；此條件下中二等獎的概率為100%，此條件發生概率為：

若10個號中含6個正選號，此條件下中二等獎的概率為100%，此條件發生概率為：

若10個號中含的正號少於6個，此條件下中二等獎的概率為0；

根據全概率公式，復式投注中二等獎概率為：

也就是說，旋轉矩陣用的注數為復式投注的1/12，而中二等獎的概率卻是復式投注的1/3，從數字的利用效率來說，旋轉矩陣組合號碼的效率大約是復式投注的4倍。從成本收益對比來看，旋轉矩陣具有明顯的優勢。

(三)旋轉矩陣中獎的上下限分析

可以分析如果你選中某些正選號的情況下中獎情況(具體見平衡式旋轉矩陣那一章)。

旋轉矩陣為什么可以提高中獎的概率呢？

實際上，筆者一再強調天下沒有免費的午餐。旋轉矩陣之所以可以比復式投注與一般組合平均每注中二等獎概率要高，是以它犧牲中二等獎時的注數為前提的。舉個例子，就可以明白這個問題了。

比如你准備選01,02，03,04，05,06，07,08，09,10這10個號，買10注有幾種組合方式，如：

(1)最極端的方式：01,02，03,04，05,06，07，同樣的號連買10注。

(2)一般組合方式：如輪次矩陣，10注。表2-1：10個號碼組合輪次矩陣

1. 01 02 03 04 05 06 07
2. 02 03 04 05 06 07 08
3. 03 04 05 06 07 08 09
4. 04 05 06 07 08 09 10
5. 05 06 07 08 09 10 01
6. 06 07 08 09 10 01 02
7. 07 08 09 10 01 02 03
8. 08 09 10 01 02 03 04
9. 09 10 01 02 03 04 05
10. 10 01 02 03 04 05 06

(3)旋轉矩陣方式：10注。表2-2：10個號碼(7，六)型旋轉矩陣(10注)

1. 01 05 06 07 08 09 10
2. 02 03 04 06 07 08 09
3. 02 03 04 05 07 08 10
4. 02 03 04 05 06 09 10
5. 01 03 04 05 06 07 08
6. 01 02 04 05 06 07 09
7. 01 02 03 05 06 07 10
8. 01 02 03 05 08 09 10
9. 01 02 04 06 08 09 10
10. 01 03 04 07 08 09 10

假設開出的中獎號碼正選號即為01,02，03,04，05,06，07，那么顯然第一種方法中的獎最多，為10個特等獎；系二種方法次之，有1個特等獎和2個二等獎；旋轉矩陣只有3個二等獎。

假設開出的中獎號碼為02,03，04,05，06,07，08

第一種方法有10個二等獎；

第二種方法有1個特等獎和2個二等獎；

第三種方法有2個二等獎。

假設開出的號碼為01,02，04,05，07,08，09

第一種方法：沒有二等獎；

第二種方法：沒有二等獎；

第三種方法：1個二等獎。

從以上可以看出，旋轉矩陣的優勢在於它比較均勻，只要選對7個正選號，無論是哪7個，它都能保證二等以上的獎。而一般組合方法，在某種情況下，可能會得一堆二等獎，其它情況可能只會得很小的獎。

當然，從以上例子可以看出，在某些情況下，旋轉矩陣得的獎比一般組合方式要少。這是由於旋轉矩陣盡量分散了風險所致。實際上，旋轉矩陣正如保險一樣，它使你的收益更加確定。當然，在某些情況下，你收益可能會減少，但總體來說，穩定的收益更符合人的天性。

此外，旋轉矩陣中蘊含的修習的原理在整個保險的保費確定和保險經營中都得到了應用。實際上，旋轉矩陣中蘊含的深刻的組合設計理論近百年來一直吸引着數學家，至今仍有許多這方面未解的難題。旋轉矩陣以其無窮的魅力，激勵着一代代數學家去突破、解決。