數學基礎知識02——旋轉軸、旋轉角度和旋轉矩陣

 

旋轉角度

已知兩向量a=(x1,y1,z1)和b=(x2,y2,z2),

兩向量的旋轉角度，可以通過點乘獲得

a•b=|a|*|b|*cosθ

通過cosθ反轉可求得旋轉角度

 

 

旋轉軸

兩個（不平行）的向量，決定一個平面，

而平面內任意向量，都可以通過旋轉角度θ獲得，所以，該平面的法向量一定是旋轉軸（旋轉軸不一定是該平面的法向量）

而法向量可以通過兩向量的叉乘得到，可參考

數學基礎知識01

 

旋轉矩陣

（旋轉矩陣）是基於（旋轉軸）和（旋轉角度）推導出來的

 

具體推導公式，可參考前輩的以下網址

http://www.cnblogs.com/xpvincent/archive/2013/02/15/2912836.html

 

推導出來的（旋轉矩陣）為

公式說明

假設（旋轉軸）的向量n=(n_x, n_y, n_z);

I是單位矩陣，A是向量n的反對稱矩陣，即

反對稱矩陣如何求，詳情可看

數學基礎知識01

而θ旋轉角度

 

最后求出的旋轉矩陣如下

通過旋轉矩陣可以求出（向量a）繞（旋轉軸）旋轉（角度θ）得到的（向量b）

設3X3的（旋轉矩陣）為R

v' = Rv

 

 

除此之外，在后面會遇到一種特殊的情況，（攝像機的移動）

已知（旋轉軸向量n），已知（需要旋轉的向量a），已知（需要旋轉的向量a，逆時針旋轉90度得到的向量b）

而且（向量n）是，（向量a）和（向量b），所在平面的法向量

通過旋轉矩陣，我們可以得到

化簡整合有

當（向量n）是法向量的時候，我們可以清楚地看見

所以

把v_x2代入公式，有

同理，把新得到的向量，逆時針旋轉90度，可以獲得，向量b旋轉同樣角度后，得到的新向量

由x坐標變化，我們可以輕易獲得向量變化之后的，y坐標 和 z坐標