引理: (Abel分部求和法)
$$\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=A_{n}b_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})$$
其中$A_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$.
結論 1:
$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{k(k+1)}{2}$$
結論 2:
$$\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
證明: 由分部求和公式得
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\sum_{k=1}^{n}k\cdot k&=\frac{n^{2}(n+1)}{2}-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}(k^{2}+k)\\
&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{4}-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}k^{2}
\end{align*}
移項整理便得結論2.
結論 3:
$$\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}$$
證明: 由分部求和公式得
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\sum_{k=1}^{n}k^{2}\cdot k&=\frac{n^{2}(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1)(2k+1)\\
&=\frac{n^{2}(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}k^{3}-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}k^{2}-\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1}k+\frac{n^{3}}{3}
\end{align*}
由結論1 結論2便得結論3.
用此方法可得任意$\alpha$為整數, 和式
$$\sum_{k=1}^{n}k^{\alpha}$$
的表達式.
也可以用貝努利求和公式計算。
命題:設$f(x)$為任意函數,則
$$\sum_{k=1}^{n}f(k)=\binom{n}{1}f(1)+\binom{n}{2}\Delta f(1)+\cdots+\binom{n}{k}\Delta^{k-1}f(1)+\cdots+\binom{n}{n}\Delta^{n-1}f(1)$$
其中$\Delta$是差分算子, $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$.
證明: 定義位移算子$E f(x)=f(x+1)$,那么 $E=I+\Delta$,$I$為恆等算子.
$$\sum_{k=1}^{n}f(k)=\sum_{k=1}^{n}E^{k-1}f(1)=\sum_{k=1}^{n}(I+\Delta)^{k-1}f(1)$$
$$=\Delta^{-1}\left[(I+\Delta)^{n}-I\right]f(1)=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\Delta^{k-1}f(1)$$
取$f(k)=k^{4}$，經計算
$$\sum_{k=1}^{n}k^{4}=\binom{n}{1}+15\binom{n}{2}+50\binom{n}{3}+60\binom{n}{4}+24\binom{n}{5}$$