統計重1到n的正整數中1的個數

問題：

給定一個十進制正整數N，寫下從1開始，到N的所有整數，然后數一下其中出現的所有“1”的個數。

例如：
N= 2，寫下1，2。這樣只出現了1個“1”。

N= 12，我們會寫下1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12。這樣，1的個數是5。

問題一：

寫一個函數f(N),返回1到N之間出現1的個數，比如f（12）= 5。

解法一：

讓我們首先想到的一個方法是：遍歷1~N，統計每個數1出現的個數，相加便得到所有1的個數。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
long long int Count(long long int n){
    long long int count = 0;
    while(n){
        count += (n % 10 == 1)?1:0;
        n = n / 10;
    }
    return count;
}
int main()
{
    long long int n,i,count;
    while(scanf("%lld",&n) != EOF){
        count = 0;
        for(i = 1;i <= n;i++){
            count += Count(i);
        }
        printf("%lld\n",count);
    }
    return 0;
}

這個方法雖然很容易想，但是不是一個好方法。致命問題就是效率問題。如果給定的N很大，需要很長時間才能得出計算結果。

 

 

解法二：

分析的出規律。

<1>1位數情況

這個簡單，如果N = 3，那么從1到3的所有數字：1,2,3，只有個位數出現1，而且只出現一次。可以發現，N是個位數時，N >=1,那么f（N）= 1；N = 0，f（N）= 0；

<2>2位數情況

<3>3位數情況

 

同理分析4位數，5位數。。。。。

設N = abcde ,其中abcde分別為十進制中各位上的數字。

如果要計算百位上1出現的次數，它要受到3方面的影響：百位上的數字，百位一下（低位）上的數字，百位一上（高位）上的數字。

如果百位上數字為0，百位上可能出現1的次數由更高位決定。比如：12013，則可以知道百位出現1的情況可能是：100~199，1100~1199,2100~2199，，.........，11100~11199，一共1200個。可以看出是由更高位數字（12）決定，並且等於更高位數字（12）乘以 當前位數（100）。

如果百位上數字為1，百位上可能出現1的次數不僅受更高位影響還受低位影響。比如：12113，則可以知道百位受高位影響出現的情況是：100~199，1100~1199,2100~2199，，.........，11100~11199，一共1200個。和上面情況一樣，並且等於更高位數字（12）乘以 當前位數（100）。但同時它還受低位影響，百位出現1的情況是：12100~12113,一共114個，等於低位數字（113）+1。

如果百位上數字大於1（2~9），則百位上出現1的情況僅由更高位決定，比如12213，則百位出現1的情況是：100~199,1100~1199，2100~2199，...........，11100~11199,12100~12199,一共有1300個，並且等於更高位數字+1（12+1）乘以當前位數（100）。

/*N = abcde 百位上數字是c
僅以求百位上出現1的情況為例。
*/
int count = 0;
//百位上數字為0,百位上可能出現1的次數由更高位決定
if(c == 0){
    //等於更高位數字（ab）* 當前位數（100）
    count += ab*100;
}
//百位上數字為1,百位上可能出現1的次數不僅受更高位影響還受低位影響
else if(c == 1){
    //更高位數字（ab） *  當前位數（100） + 低位數字（de）+1
    count += ab*100 + de + 1;
}
//百位上數字大於1（2~9）,百位上出現1的情況僅由更高位決定
else{
    //（更高位數字+1（ab+1））* 當前位數（100）
    count += (ab + 1) * 100;
}

#include<stdio.h>

long long int Count(long long int n){
    //1的個數
    long long int count = 0;
    //當前位
    long long int Factor = 1;
    //低位數字
    long long int LowerNum = 0;
    //當前位數字
    long long int CurrNum = 0;
    //高位數字
    long long int HigherNum = 0;
    if(n <= 0){
        return 0;
    }
    while(n / Factor != 0){
        //低位數字
        LowerNum = n - (n / Factor) * Factor;
        //當前位數字
        CurrNum = (n / Factor) % 10;
        //高位數字
        HigherNum = n / (Factor * 10);
        //如果為0,出現1的次數由高位決定
        if(CurrNum == 0){
            //等於高位數字 * 當前位數
            count += HigherNum * Factor;
        }
        //如果為1,出現1的次數由高位和低位決定
        else if(CurrNum == 1){
            //高位數字 * 當前位數 + 低位數字 + 1
            count += HigherNum * Factor + LowerNum + 1;
        }
        //如果大於1,出現1的次數由高位決定
        else{
            //（高位數字+1）* 當前位數
            count += (HigherNum + 1) * Factor;
        }
        //前移一位
        Factor *= 10;
    }
    return count;
}

int main(){
    long long int a;
    while(scanf("%lld",&a) != EOF){
        printf("%lld\n",Count(a));
    }
    return 0;
}

轉載：http://blog.csdn.net/sjf0115/article/details/8600599