給定一個正整數 n，將其拆分為至少兩個正整數的和，並使這些整數的乘積最大化。 返回你可以獲得的最大乘積。

/*
給定一個正整數 n，將其拆分為至少兩個正整數的和，並使這些整數的乘積最大化。 返回你可以獲得的最大乘積。
*/
#include<stdio.h>
#include<math.h>

main()
{
    int n,rs=1;
    scanf("%d",&n);
    if(n==2){
        printf("1\n");
        return 0;
    }
    if(n==3){
        printf("2\n");
        return 0;
    }
    while(n>4){
        rs*=3;
        n=n-3;
    }
    printf("%d\n",rs*n);
}

### 解題思路
題目分析：
將正整數n拆分為特定整數x的和，並使這些特定整數n/x個x的乘積最大化，即
![h.png](https://pic.leetcode-cn.com/5de45ff139b93e7047f541a27259777bf3bf8dfd92dea3685f50960efd5f0b56-h.png)


數學推導：
h(x)=e^((n/x)lnx)與函數
![h.png](https://pic.leetcode-cn.com/8104982928f2230b99701bad3b7f19bca7f6a8200b88ec737930c117b0097905-h.png)單調性相同，令f’(x0)=0，因為f’’(x0)<0，得極大值x0=e，則特定數x=e約等於2.78，整數化，x為2或3，又f(3)/f(2)>1,所以取x=3；

結論：
為了獲取最大化的乘積，需要將n拆分更多的3，
令a=n/3；b=n%3；則n=a個3之和+b；
b分為0，1，2；
當b=0時，max=3^a;
當b=2時，max=3^a*2，若向前借一個2，變成2+3=5,5的最大乘積為3*2=6，為最大乘積，所以不變。
當b=1時，因為拆分為1，所以向前借一個3，變成3+1=4，4的最大乘積為2*2=4，若按原來為3*1=3就小了；所以max=3^(a-1)*4

再討論n：
當n<=3,max=n-1；
當n>=4，按n%3=0，1，2余數分類

### 代碼

```c
int integerBreak(int n){
    int i,rs=1;
    if(n==2) return 1;
    if(n==3) return 2;
    while(n>4){
        rs*=3;
        n-=3;
    }
    rs*=n;
    return rs;
}

 動態規划自底向上+遞歸自頂向下待學習！