一，部分背包問題介紹
首先介紹下0-1背包問題。假設一共有N件物品，第 i 件物品的價值為 Vi ，重量為Wi，一個小偷有一個最多只能裝下重量為W的背包，他希望帶走的物品越有價值越好，請問：他應該選擇哪些物品？
0-1背包問題的特點是：對於某件（更適合的說法是：某類）物品，要么被帶走（選擇了它），要么不被帶走（沒有選擇它），不存在只帶走一部分的情況。
而部分背包問題則是：可以帶走一部分。即，部分背包問題可帶走的物品 是可以 無限細分的。（連續與離散的區別）
可以把0-1背包問題中的物品想象的一個金子，你要么把它帶走，要么不帶走它；而部分背包問題中的物品則是一堆金粉末，可以取任意部分的金粉末
二，部分背包問題的貪心算法
部分背包問題可以用貪心算法求解，且能夠得到最優解。
貪心策略是什么呢？將物品按單位重量 所具有的價值排序。總是優先選擇單位重量下價值最大的物品。
單位重量所具有的價值：Vi / Wi
舉個例子：假設背包可容納50Kg的重量，物品信息如下：
物品 i 重量(Kg) 價值 單位重量的價值
1 10 60 6
2 20 100 5
3 30 120 4
按照我們的貪心策略，單位重量的價值排序： 物品1 > 物品2 > 物品3
因此，我們盡可能地多拿物品1，直到將物品1拿完之后，才去拿物品2.....
最終貪心選擇的結果是這樣的：物品1全部拿完，物品2也全部拿完，物品3拿走10Kg（只拿走了物品3的一部分！！！）
這種選擇獲得的價值是最大的。在（三）會給出證明。
而對於0-1背包問題，如果也按“優先選擇單位重量下價值最大的物品”這個貪心策略，那么，在拿了物品1和物品2之后，就不能在拿物品3了。因為，在拿了物品1和物品2之后，背包中已經裝了10+20=30Kg的物品了，已經裝不下物品3了（50-30 < 30）（0-1背包：一件物品要么拿，要么不拿，否能只拿一部分）,此時得到的總價值是 160。而如果拿物品2和物品3，得到的價值為220。這說明，該貪心策略對0-1背包問題，不能求得最優解。
三，部分背包問題的貪心策略的正確性證明
貪心策略是：總是優先選擇單位重量下價值最大的物品
正確性證明 是：使用該貪心策略，可以獲得最優解。在這里，最優解就是帶走的物品價值最大。
證明思路：先考察一個全局最優解，然后對該解加以修改(一般是采用“剪枝”技巧)，使其采用貪心選擇，這個選擇將原問題變成一個相似的、但是更小的問題。
先假設 物品集合S={W1，W2....Wn}已經按 單位重量價值從小到大排好序了。
並假設 一個全局最優解是：S(i)={Wi1，Wi2，.....Win}。Wi1，Wi2，.....Win是有序的。對於貪心選擇而言，總是會優先 選擇 Wn 的物品，當Wn 沒有后，再選擇Wn-1 .....
如果Win = Wn 問題已經得證。因為，我們的最優解S(i)中，已經包含了貪心選擇。只要繼續歸納下去，Wi(n-1) 就是 Wn-1 ....
如果Win != Wn 運用剪枝技巧，剪掉Win 並 貼上 Wn 此時，得到的是一個更優的解(因為價值更大了 ，Wn > Win)。因為，Wn 是單位重量價值最高的那個物品啊，我們的貪心選擇應該選擇它，但是這里的最優解S(i)卻沒有選擇它，於是我們用剪枝技巧，將它加入到S(i)中去，並把S(i)中的Win除去。
這就證明了，如果用貪心策略來進行選擇，得到的是最優解。從而證明了貪心算法的正確性。
其實，也就是證明了一定存在一個最優解，這個最優解就是由貪心選擇組成的。
四，參考資料
從 活動選擇問題 看動態規划和貪心算法的區別與聯系 文章中講到的 “活動選擇問題”的貪心策略的正確性證明。二者證明思路基本一致。
http://www.cnblogs.com/hapjin/p/5573419.html