Dijkstra算法正確性證明

問題：求圖中點1到其他各點的最短距離

算法描述：

設初始時圖的所有點的集合U

1. 把起點s放入初始集合Set中

   U=U-{s}

   Set=Set+{s}

2. 找s經過集合Set中的點，能達到的距離最短的點k(k\(\in\)U)，將k並入Set

   言外之意k的前一個點必然屬於Set

   U=U-{k}

   Set=Set+{k}

   由於每次引入的只有一個點k，所以只需要基於k對s到達所有點的距離進行更新，之前的點無需考慮

3. repet step2

   until U == Set

算法正確性證明：

1. 變量的命名：

Set={1,2,,,,,,x}

記錄已求出最短路徑的頂點

dist[u]

從start點開始，經過Set中的點，到u點(u\(\in\)U)的最短距離

short[u]

從start開始到u的全局最短路徑(路徑中可能有部分點\(\notin\)Set)

可知 \(short[u]\leq dist[u]\)

U

所有點除去Set中的點組成的集合

2. 證明過程：(貪心正確性的證明)

需要證明的命題：

算法進行到第k步時，Set中的任意一個節點Set_i的dist[Set_i]等於全局最短路徑short[Set_i]

(第n步時，dist[n]=short[n]，此時找到點1到所有點的最短距離)

歸納基礎：

k=1，Set={start_point} => dist[start_point] == short[start_point] ==0，命題正確

歸納假設：

假設第k步成立，現在來證明第k+1步成立

第k步成立的作用在於s到Set中的所有節點(設某節點為k)有dist[k]=short[k]

所以對於引入的第k+1個點v，s->v序列中Set中的點一定是連續的(如下圖。因為s->v中的Set的最后一個點u之前的所有點必然都屬於Set)

設k+1步選擇了頂點v(v是s經過Set所能到達的U中距離最近的點)

則頂點v必然與Set中的u點直接相連， 也就是說上圖中非Set中的點集為空集

證明如下：

假設藍色部分“非Set中的點”所組成的集合不為空，也就是s到v的最短路徑是先有一部分Set中的點，再由一部分U中的點組成，那么

short[v]：s->...->u->...->y->...->v

如下圖

　　

　　　

因為之前論證過s->u(u代表Set集合中的最后一個點)過程中所有的點均屬於Set，所以有：

1. s->...->u1->v
2. s->...->u2->y->v

易知length(s->...->u1->v)\(\leq\)length(s->...->u2->y)

v是s經由Set所能達到的距離最小點

又length(y->v)$\geq$0

所以不存在這樣的y，s到v的最短路徑上v的前一個節點必然為Set中的點

從而也就論證了迪傑斯特拉算法的正確性