ACM數論之旅16---母函數（又名生成函數）（痛並快樂着(╭￣3￣)╭）

 

（前排出售零食瓜子）

前言：

母函數是個很難的東西，難在數學

而ACM中所用的母函數只是母函數的基礎

應該說除了不好理解外，其他都是非常簡單的

 

 

 

 

 

 

 

 

 

母函數即生成函數，是組合數學中尤其是計數方面的一個重要理論和工具。

但是ACM中的母函數木有像數學那么深究，應用的都是母函數的一些基本

（就好比方程的配方，因式的分解，寫起來容易，你用電腦寫起來就麻煩了，所以學計算機就不要老跟數學家瞎鬧(￣３￣)）

 

 

什么是母函數

就是把一個已知的序列和x的多項式合並起來，新產生的多項式就叫原來序列的母函數

 

至於怎么合並，看這個例子

 

序列{0,1，2，3，4，5...n}的母函數就是

f(x)=0+x+2x^2+3x^3+4x^4+...+nx^n（這個x沒有任何意義，應該說，你不需要把它當做一個函數，你只要知道母函數這么寫就可以了）

 

序列{1,1,1,1,1......}的母函數就是

f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4....

 

二項式展開的序列比如這個{1,4,6,4,1,0,0,0,0,0.....}是C(4,0)到C(4,4)的系數，那它的母函數就是

f(x)=1+4x+6x^2+4x^3+1x^4

 

母函數就長這樣，對正常人來講，這種東西毫無意義( ° △ °|||)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

那看點有意義的東西（以下都是經典題型，我從杭電ACM課件抄來的）

 

有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？

假如x的冪次數表示幾克的砝碼

那么

1克的砝碼表示為1+x^1

2克的砝碼表示為1+x^2

3克的砝碼表示為1+x^3

4克的砝碼表示為1+x^4

 

每個砝碼都可以選擇取或不取

所以這里的1可以認為1*x^0，表示不取這顆砝碼

 

那么把這些乘起來

(1+x^1)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=1+(x^1)+(x^2)+2(x^3)+2(x^4)+2(x^5)+2(x^6)+2(x^7)+(x^8)+(x^9)+(x^10)

 

根據指數來看，我們可以稱出0~10這么多的重量，其中3~7的系數為2，說明有2種稱的方法

那么我們來細看一遍

0：（什么砝碼都不放）.......................（1種）

1：1.............................................（1種）

2：2.............................................（1種）

3：3或1+2.....................................（2種）

4：4或1+3.....................................（2種）

5：1+4或2+3.................................（2種）

6：2+4或1+2+3..............................（2種）

7：3+4或1+2+4..............................（2種）

8：1+3+4......................................（1種）

9：2+3+4......................................（1種）

10：1+2+3+4.................................（1種）

 

分毫不差(・ˍ・*)

所以說母函數在ACM就是這么用的，跟函數沒關系，跟寫法有關系。。。

 

 

 

 

 

再來一題

求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：（每張郵票的數量是無限的）

那么

1分：(1+x^1+x^2+x^3+x^4+......)

2分：(1+x^2+x^4+x^6+x^8+......)

3分：(1+x^3+x^6+x^9+x^12+......)

然后這3個乘起來（讓電腦去乘吧）

 

對於這種無限的，題目肯定會給你他詢問的數值的范圍，計算到最大的范圍就可以了

 

 

附代碼：

#include<cstdio>
typedef long long LL;
const int N = 100 + 5;//假如題目只問到100為止 
const int MAX = 3;//題目只有1,2,3這3種郵票 
LL c1[N], c2[N];//c2是臨時合並的多項式，c1是最終合並的多項式 
int n;
void init(){
    c1[0] = 1;//一開始0的情況算一種 
    for(int i = 1; i <= MAX; i ++){//把1分到MAXN的郵票合並，變成一個多項式 
        for(int j = 0; j < N; j += i){//i分的郵票，步長是i
            for(int k = 0; j + k < N; k ++){//從x^0到x^N遍歷一遍 
                c2[j + k] += c1[k];//因為j的所有項系數為1，所以c1[k]可以看成c1[k]*1; 
            }
        } 
        for(int j = 0; j < N; j ++){//把c2的數據抄到c1，清空c2 
            c1[j] = c2[j];
            c2[j] = 0;
        }
    }
} 
int main(){
    init();
    while(scanf("%d", &n) != EOF){
        printf("%I64d\n", c1[n]);
    }
}

 

 

 

 

 

 

我們就來把這個模板用於實際吧

hdu 1028

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

題目問一個數字n能夠拆成多少種數字的和

比如n=4

  4 = 4;
  4 = 3 + 1;
  4 = 2 + 2;
  4 = 2 + 1 + 1;
  4 = 1 + 1 + 1 + 1;

有5種，那么答案就是5

 

AC代碼：

#include<cstdio>
typedef long long LL;
const int N = 120 + 5;
const int MAX = 120 + 5;
LL c1[N], c2[N];
int n;
void init(){
    c1[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= MAX; i ++){
        for(int j = 0; j < N; j += i){
            for(int k = 0; j + k < N; k ++){
                c2[j + k] += c1[k];
            }
        } 
        for(int j = 0; j < N; j ++){
            c1[j] = c2[j];
            c2[j] = 0;
        }
    }
} 
int main(){
    init();
    while(scanf("%d", &n) != EOF){
        printf("%I64d\n", c1[n]);
    }
}

 

 

 

再來，hdu 1398

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398

題目說一個國家的硬幣都是方形的，面值也是方形的

有1塊錢，4塊錢，9塊錢，16塊錢......一直到289塊錢（17^2）

問想組成n塊錢有幾種方法

 

AC代碼：

#include<cstdio>
typedef long long LL;
const int N = 300 + 5;
const int MAX = 17;
LL c1[N], c2[N];
int n;
void init(){
    c1[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= MAX; i ++){
        for(int j = 0; j < N; j += i*i){
            for(int k = 0; j + k < N; k ++){
                c2[j + k] += c1[k];
            }
        } 
        for(int j = 0; j < N; j ++){
            c1[j] = c2[j];
            c2[j] = 0;
        }
    }
} 
int main(){
    init();
    while(scanf("%d", &n) != EOF && n){
        printf("%I64d\n", c1[n]);
    }
}

 

 

都是改一些小地方，都是模板題(oﾟωﾟo)

 

 

最后一道

hdu 1085

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

 

AC代碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
typedef long long LL;
const int N = 1000 * (1+2+5) + 5;
int cost[3] = {1, 2, 5};
LL c1[N], c2[N];
int num[3];
int MAX;
int main(){
    while(~scanf("%d%d%d", &num[0], &num[1], &num[2])){
        if(num[0] == 0 && num[1] == 0 && num[2] == 0) break;
        memset(c1, 0, sizeof(c1));
        memset(c2, 0, sizeof(c2));
        MAX = num[0] + num[1] * 2 + num[2] * 5;//計算最大值
        c1[0] = 1;
        for(int i = 0; i < 3; i ++){
            for(int j = 0; j <= num[i] * cost[i]; j += cost[i]){
                for(int k = 0; j + k <= MAX; k ++){
                    c2[j + k] += c1[k];
                }
            } 
            for(int j = 0; j < N; j ++){
                c1[j] = c2[j];
                c2[j] = 0;
            }
        }
        for(int i = 1; i <= MAX + 1; i ++){
            if(!c1[i]){
                printf("%d\n", i);
                break;
            }
        }
    }
} 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

母函數在數學上真的用處很大，但是我沒怎么看到在ACM上有什么太大的用處（可能我做的題還不夠多 T_T）

比如剛剛上面的3個例題，都有更快的做法

第一題：動態規划，時間復雜度O(n^2)

#include<cstdio>
const int N = 120 + 5;
int dp[N];
int n;
void init(){
    dp[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i ++){
        for(int j = i; j < N; j ++){
            dp[j] += dp[j - i];
        }
    }
}
int main(){
    init();
    while(scanf("%d", &n) != EOF){
        printf("%d\n", dp[n]);
    }
}

 

第二題：動態規划，時間復雜度O(n^2)

#include<cstdio>
const int N = 300 + 5;
int dp[N];
int n;
void init(){
    dp[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 17; i ++){
        for(int j = i*i; j < N; j ++){
            dp[j] += dp[j - i*i];
        }
    }
}
int main(){
    init();
    while(scanf("%d", &n) != EOF && n){
        printf("%d\n", dp[n]);
    }
}

 

第三題：≖‿≖✧特判就好了，時間復雜度O(1)

#include<cstdio>
int a, b, c;
int ans;
int main(){
    while(~scanf("%d%d%d", &a, &b, &c) && (a || b || c)){
        if(a >= 4 || a >= 2 && b >= 1 || a >= 1 && b >= 2) ans = a + 2*b + 5*c + 1;
        else if(a == 0) ans = 1;
        else ans = a + 2*b + 1;
        printf("%d\n", ans);
    }
}

 

哈哈哈有沒有被騙的感覺，有些題目，不要陷進算法里，這題O(1)的復雜度就可以了，如果你用三個for循環，那就太慢了，而且數量不同，還沒有辦法預處理，如果數據量大，肯定超時

 

 

 

 

 

所以，母函數我們只要理解原理就好了

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

那么ACM的母函數講完了(*°∀°)

之后是數學上的母函數，不想看的人就可以結束本章內容了(*°∀°)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

哇哈哈╰(*°▽°*)╯我也不想講了

自己百度去吧╰(*°▽°*)╯

據說可以求很多東西

比如Fibonacci（斐波那契）數列的通項公式

Catalan數（卡塔蘭數）的通項公式也是母函數求得的

還有"牛頓二項式定理"等等。。。

想了解自己百度╰(*°▽°*)╯