數論倒數，又稱逆元（因為我說習慣逆元了，下面我都說逆元）
數論中的倒數是有特別的意義滴
你以為a的倒數在數論中還是1/a嗎
(・∀・)哼哼~天真
先來引入求余概念
(a + b) % p = (a%p + b%p) %p （對）
(a - b) % p = (a%p - b%p) %p （對）
(a * b) % p = (a%p * b%p) %p （對）
(a / b) % p = (a%p / b%p) %p （錯）
為什么除法錯的
證明是對的難，證明錯的只要舉一個反例
(100/50)%20 = 2 ≠ (100%20) / (50%20) %20 = 0
對於一些題目，我們必須在中間過程中進行求余，否則數字太大，電腦存不下，那如果這個算式中出現除法，我們是不是對這個算式就無法計算了呢？
答案當然是 NO (>o<)
這時就需要逆元了
我們知道
如果
a*x = 1
那么x是a的倒數，x = 1/a
但是a如果不是1，那么x就是小數
那數論中，大部分情況都有求余，所以現在問題變了
a*x = 1 (mod p)
那么x一定等於1/a嗎
不一定
所以這時候，我們就把x看成a的倒數，只不過加了一個求余條件，所以x叫做 a關於p的逆元
比如2 * 3 % 5 = 1，那么3就是2關於5的逆元，或者說2和3關於5互為逆元
這里3的效果是不是跟1/2的效果一樣，所以才叫數論倒數
a的逆元，我們用inv(a)來表示
那么(a / b) % p = (a * inv(b) ) % p = (a % p * inv(b) % p) % p
這樣就把除法，完全轉換為乘法了 (。・ω・)，乘法超容易
正篇開始
逆元怎么求
(忘了說，a和p互質，a才有關於p的逆元)
方法一：
費馬曾經說過：不想當數學家的數學家不是好數學家（(￣▽￣)~*我隨便說的，別當真）
費馬小定理
a^(p-1) ≡1 (mod p)
兩邊同除以a
a^(p-2) ≡1/a (mod p)
什么(,,• ₃ •,,)，這可是數論，還敢寫1/a
應該寫a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)
所以inv(a) = a^(p-2) (mod p)
這個用快速冪求一下，復雜度O(logn)(ง •̀_•́)ง
1 LL pow_mod(LL a, LL b, LL p){//a的b次方求余p 2 LL ret = 1; 3 while(b){ 4 if(b & 1) ret = (ret * a) % p; 5 a = (a * a) % p; 6 b >>= 1; 7 } 8 return ret; 9 } 10 LL Fermat(LL a, LL p){//費馬求a關於b的逆元 11 return pow_mod(a, p-2, p); 12 }
方法二：
要用擴展歐幾里德算法
還記得擴展歐幾里德嗎？（不記得的話，歐幾里得會傷心的(╭￣3￣)╭♡）
a*x + b*y = 1
如果ab互質，有解
這個解的x就是a關於b的逆元
y就是b關於a的逆元
為什么呢？
你看，兩邊同時求余b
a*x % b + b*y % b = 1 % b
a*x % b = 1 % b
a*x = 1 (mod b)
你看你看，出現了！！！(/≥▽≤/)
所以x是a關於b的逆元
反之可證明y
附上代碼：
1 #include<cstdio> 2 typedef long long LL; 3 void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){ 4 if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;} 5 else{ 6 ex_gcd(b, a % b, y, x, d); 7 y -= x * (a / b); 8 } 9 } 10 LL inv(LL t, LL p){//如果不存在，返回-1 11 LL d, x, y; 12 ex_gcd(t, p, x, y, d); 13 return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1; 14 } 15 int main(){ 16 LL a, p; 17 while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){ 18 printf("%lld\n", inv(a, p)); 19 } 20 }
方法三：
當p是個質數的時候有
inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p
這為啥是對的咩？
證明不想看的孩子可以跳過。。。（￣0 ￣）
證明：
設x = p % a,y = p / a
於是有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移項得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y) * inv(x) % p
於是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p
然后一直遞歸到1為止，因為1的逆元就是1
代碼：
1 #include<cstdio> 2 typedef long long LL; 3 LL inv(LL t, LL p) {//求t關於p的逆元，注意:t要小於p，最好傳參前先把t%p一下 4 return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p; 5 } 6 int main(){ 7 LL a, p; 8 while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){ 9 printf("%lld\n", inv(a%p, p)); 10 } 11 }
這個方法不限於求單個逆元，比前兩個好，它可以在O(n)的復雜度內算出n個數的逆元
遞歸就是上面的寫法，加一個記憶性遞歸，就可以了
遞推這么寫
1 #include<cstdio> 2 const int N = 200000 + 5; 3 const int MOD = (int)1e9 + 7; 4 int inv[N]; 5 int init(){ 6 inv[1] = 1; 7 for(int i = 2; i < N; i ++){ 8 inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD; 9 } 10 } 11 int main(){ 12 init(); 13 }
又學到新知識了o(*≧▽≦)ツ好開心