[貪心經典算法]Kruskal算法

Kruskal算法的高效實現需要一種稱作並查集的結構。我們在這里不介紹並查集，只介紹Kruskal算法的基本思想和證明，實現留在以后討論。

Kruskal算法的過程：

（1） 將全部邊按照權值由小到大排序。
（2） 按順序（邊權由小到大的順序）考慮每條邊，只要這條邊和我們已經選擇的邊不構成圈，就保留這條邊，否則放棄這條邊。

算法 成功選擇(n-1)條邊后，形成一棵最小生成樹，當然如果算法無法選擇出(n-1)條邊，則說明原圖不連通。

以下圖為例：

邊排序后為：

 

1　AF 1

2　DE 4

3　BD 5

4　BC 6

5　CD 10

6　BF 11

7　DF 14

8　AE 16

9　AB 17

10　EF 33

 

算法處理過程如下：

處理邊AF，點A與點F不在同一個集合里，選中AF。

處理邊DE，點D與點E不在同一個集合里，選中DE

處理邊BD，點B與點D不在同一個集合里，選中BD

處理邊BC，點B與點C不在同一個集合里，選中BC

處理邊CD，點C與點D在同一個集合里，放棄CD。

處理邊BF，點B與點F不在同一個集合里，選中BF。

 

至此，所有的點都連在了一起，剩下的邊DF，AE，AB，EF不用繼續處理了，算法執行結束。

Kruskal算法的證明。假設圖連通，我們證明Krusal算法得到一棵最小生成樹。我們假設Kruskal算法得到的樹是K (注意我們已經假設Kruskal算法一定可以得到生成樹)。假設T是一棵最小生成樹，並且K ≠T, K中顯然至少有一條邊。我們找到在K中，而不在T中最小權值的邊e。

把e加入T中，則形成一個圈，刪掉這個圈中不在K中的邊f,得到新的生成樹T’。
f的存在性，如果全里面所有的邊都在K中，則K包含圈，矛盾。

考慮邊權值關系：

（1） 若w(f) > w(e), 則T’的權值和小於T的權值和，與T是最小生成樹矛盾。
（2） 若w(f) < w(e), 說明Kruskal算法在考慮加入e之前先考慮了邊f，之所以沒加入f是因為f和之前加入的邊形成圈，之前加入的邊權值顯然不超過w(f) (因為加邊是從小到大的順序加入的)，所以之前加入的邊權值一定小於w(e)。而根據e的定義，K中權值小於w(e)的邊都在T中，這說明T中的邊會和f構成圈，矛盾。

所以只能w(f) = w(e)。T’仍然是最小生成樹，而T’和K相同的邊多了一條。
這樣下去有限步之后，最終可以把T變為K，從而K也是最小生成樹。

 

N個點M條邊的無向連通圖，每條邊有一個權值，求該圖的最小生成樹。

最后，我們來提供輸入輸出數據，由你來寫一段程序，實現這個算法，只有寫出了正確的程序，才能繼續后面的課程。

 

輸入

第1行：2個數N,M中間用空格分隔，N為點的數量，M為邊的數量。（2 <= N <= 1000, 1 <= M <= 50000)
第2 - M + 1行：每行3個數S E W，分別表示M條邊的2個頂點及權值。(1 <= S, E <= N，1 <= W <= 10000)

輸出

 

輸出最小生成樹的所有邊的權值之和。

 

輸入示例

9 14
1 2 4
2 3 8
3 4 7
4 5 9
5 6 10
6 7 2
7 8 1
8 9 7
2 8 11
3 9 2
7 9 6
3 6 4
4 6 14
1 8 8

輸出示例

37