本章是克魯斯卡爾算法的C++實現。
目錄
1. 最小生成樹
2. 克魯斯卡爾算法介紹
3. 克魯斯卡爾算法圖解
4. 克魯斯卡爾算法分析
5. 克魯斯卡爾算法的代碼說明
6. 克魯斯卡爾算法的源碼轉載請注明出處：http://www.cnblogs.com/skywang12345/
更多內容：數據結構與算法系列 目錄
最小生成樹
在含有n個頂點的連通圖中選擇n-1條邊，構成一棵極小連通子圖，並使該連通子圖中n-1條邊上權值之和達到最小，則稱其為連通網的最小生成樹。
例如，對於如上圖G4所示的連通網可以有多棵權值總和不相同的生成樹。
克魯斯卡爾算法介紹
克魯斯卡爾(Kruskal)算法，是用來求加權連通圖的最小生成樹的算法。
基本思想：按照權值從小到大的順序選擇n-1條邊，並保證這n-1條邊不構成回路。
具體做法：首先構造一個只含n個頂點的森林，然后依權值從小到大從連通網中選擇邊加入到森林中，並使森林中不產生回路，直至森林變成一棵樹為止。
克魯斯卡爾算法圖解
以上圖G4為例，來對克魯斯卡爾進行演示(假設，用數組R保存最小生成樹結果)。
第1步：將邊<E,F>加入R中。
邊<E,F>的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果R中。
第2步：將邊<C,D>加入R中。
上一步操作之后，邊<C,D>的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果R中。
第3步：將邊<D,E>加入R中。
上一步操作之后，邊<D,E>的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果R中。
第4步：將邊<B,F>加入R中。
上一步操作之后，邊<C,E>的權值最小，但<C,E>會和已有的邊構成回路；因此，跳過邊<C,E>。同理，跳過邊<C,F>。將邊<B,F>加入到最小生成樹結果R中。
第5步：將邊<E,G>加入R中。
上一步操作之后，邊<E,G>的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果R中。
第6步：將邊<A,B>加入R中。
上一步操作之后，邊<F,G>的權值最小，但<F,G>會和已有的邊構成回路；因此，跳過邊<F,G>。同理，跳過邊<B,C>。將邊<A,B>加入到最小生成樹結果R中。
此時，最小生成樹構造完成！它包括的邊依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
克魯斯卡爾算法分析
根據前面介紹的克魯斯卡爾算法的基本思想和做法，我們能夠了解到，克魯斯卡爾算法重點需要解決的以下兩個問題：
問題一 對圖的所有邊按照權值大小進行排序。
問題二 將邊添加到最小生成樹中時，怎么樣判斷是否形成了回路。
問題一很好解決，采用排序算法進行排序即可。
問題二，處理方式是：記錄頂點在"最小生成樹"中的終點，頂點的終點是"在最小生成樹中與它連通的最大頂點"(關於這一點，后面會通過圖片給出說明)。然后每次需要將一條邊添加到最小生存樹時，判斷該邊的兩個頂點的終點是否重合，重合的話則會構成回路。 以下圖來進行說明：
在將<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成樹R中之后，這幾條邊的頂點就都有了終點：
(01) C的終點是F。
(02) D的終點是F。
(03) E的終點是F。
(04) F的終點是F。
關於終點，就是將所有頂點按照從小到大的順序排列好之后；某個頂點的終點就是"與它連通的最大頂點"。 因此，接下來，雖然<C,E>是權值最小的邊。但是C和E的重點都是F，即它們的終點相同，因此，將<C,E>加入最小生成樹的話，會形成回路。這就是判斷回路的方式。
克魯斯卡爾算法的代碼說明
有了前面的算法分析之后，下面我們來查看具體代碼。這里選取"鄰接矩陣"進行說明，對於"鄰接表"實現的圖在后面的源碼中會給出相應的源碼。
1. 基本定義
// 邊的結構體
class EData
{
public:
char start; // 邊的起點
char end; // 邊的終點
int weight; // 邊的權重
public:
EData(){}
EData(char s, char e, int w):start(s),end(e),weight(w){}
};
EData是鄰接矩陣邊對應的結構體。
class MatrixUDG {
#define MAX 100
#define INF (~(0x1<<31)) // 無窮大(即0X7FFFFFFF)
private:
char mVexs[MAX]; // 頂點集合
int mVexNum; // 頂點數
int mEdgNum; // 邊數
int mMatrix[MAX][MAX]; // 鄰接矩陣
public:
// 創建圖(自己輸入數據)
MatrixUDG();
// 創建圖(用已提供的矩陣)
//MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);
MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]);
~MatrixUDG();
// 深度優先搜索遍歷圖
void DFS();
// 廣度優先搜索（類似於樹的層次遍歷）
void BFS();
// prim最小生成樹(從start開始生成最小生成樹)
void prim(int start);
// 克魯斯卡爾（Kruskal)最小生成樹
void kruskal();
// 打印矩陣隊列圖
void print();
private:
// 讀取一個輸入字符
char readChar();
// 返回ch在mMatrix矩陣中的位置
int getPosition(char ch);
// 返回頂點v的第一個鄰接頂點的索引，失敗則返回-1
int firstVertex(int v);
// 返回頂點v相對於w的下一個鄰接頂點的索引，失敗則返回-1
int nextVertex(int v, int w);
// 深度優先搜索遍歷圖的遞歸實現
void DFS(int i, int *visited);
// 獲取圖中的邊
EData* getEdges();
// 對邊按照權值大小進行排序(由小到大)
void sortEdges(EData* edges, int elen);
// 獲取i的終點
int getEnd(int vends[], int i);
};
MatrixUDG是鄰接矩陣對應的結構體。
mVexs用於保存頂點，mVexNum是頂點數，mEdgNum是邊數；mMatrix則是用於保存矩陣信息的二維數組。例如，mMatrix[i][j]=1，則表示"頂點i(即mVexs[i])"和"頂點j(即mVexs[j])"是鄰接點；mMatrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。
2. 克魯斯卡爾算法
/*
* 克魯斯卡爾（Kruskal)最小生成樹
*/
void MatrixUDG::kruskal()
{
int i,m,n,p1,p2;
int length;
int index = 0; // rets數組的索引
int vends[MAX]={0}; // 用於保存"已有最小生成樹"中每個頂點在該最小樹中的終點。
EData rets[MAX]; // 結果數組，保存kruskal最小生成樹的邊
EData *edges; // 圖對應的所有邊
// 獲取"圖中所有的邊"
edges = getEdges();
// 將邊按照"權"的大小進行排序(從小到大)
sortEdges(edges, mEdgNum);
for (i=0; i<mEdgNum; i++)
{
p1 = getPosition(edges[i].start); // 獲取第i條邊的"起點"的序號
p2 = getPosition(edges[i].end); // 獲取第i條邊的"終點"的序號
m = getEnd(vends, p1); // 獲取p1在"已有的最小生成樹"中的終點
n = getEnd(vends, p2); // 獲取p2在"已有的最小生成樹"中的終點
// 如果m!=n，意味着"邊i"與"已經添加到最小生成樹中的頂點"沒有形成環路
if (m != n)
{
vends[m] = n; // 設置m在"已有的最小生成樹"中的終點為n
rets[index++] = edges[i]; // 保存結果
}
}
delete[] edges;
// 統計並打印"kruskal最小生成樹"的信息
length = 0;
for (i = 0; i < index; i++)
length += rets[i].weight;
cout << "Kruskal=" << length << ": ";
for (i = 0; i < index; i++)
cout << "(" << rets[i].start << "," << rets[i].end << ") ";
cout << endl;
}
克魯斯卡爾算法的源碼
這里分別給出"鄰接矩陣圖"和"鄰接表圖"的克魯斯卡爾算法源碼。