泛函與變分基礎

 

基本概念

泛函

泛函是一個函數的表達式，取值取決於該表達式中的函數，泛函是函數的函數。

 

1）除了變量x外，泛函還可以包含其他的獨立變量；

2）除函數y(x)外，泛函還可以包含有許多以上述獨立變量為函數的其他函數（因變量）；

3）泛函中，除了一階導數外，還可以包含有高階導數。

變分法

經典變分問題都是尋求一個問題的最優解答，其求解過程為“最優化”過程。

經典變分問題的求解方法和過程是泛函求極值的方法和過程。

研究泛函極值的方法就是所謂的變分法，研究泛函極值的近似方法就是所謂變分方法。

一階變分

函數F對變量x,y和y'二次可微；

泛函I在兩點之間的數值取決於兩點間所選的路徑，即函數y(x)。

設存在函數y(x)，使泛函I達到極值，其相鄰路徑為。

y(x)稱為“極值曲線”或“極值函數”，稱為“可變路徑”。

是一可微函數,a為一微量的參變數。

a=0時，為極值的必要條件為：

 

注意到

 

 

在兩端點 = 0

因為為任意函數

所以 即為歐拉—拉格朗日方程

 

 

變分運算

引入“算子”，定義

算子表示當獨立變量x為一固定值時，因變量函數y的任意微小變化。

利用沿可變曲線將F寫成：

在任意x處，將F展開成關於y和y`的泰勒級數：

F的全變分：

一階變分：

I取極值的條件：

 

 

具有多個因變量：

含有高階導數：

（Euler-Poisson方程）