極值的概念
函數 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 處取得極小值，是指當 \(x\) 在 \(x_0\) 點及其附近 \(|x - x_0| < \varepsilon\) 時，恆有
\(f(x) \ge f(x_0)\)
若有
\(f(x) \leq f(x_0)\)
則稱函數 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 點取極大值。
函數 \(f(x)\) 在點 \(x_0\) 處取得極值的必要條件是在該點處的導數為 0，即
\(f'(x) = 0\)
泛函的極值必要條件
仿照函數極值必要條件的到處方法，得到泛函取得極值的必要條件。 首先，設所考慮的變量函數均通過固定的兩個端點：
\(y(x_0) = a, \qquad y(x_1) = 0\)
即
\(\delta y(x_0) = 0, \qquad \delta y(x_1) = 0\)
考慮泛函的差值
\[J[y + \delta y] - J[y] = \int^{x_1}_{x_0} [ F(x, y + \delta y, y' + (\delta y)') - F(x, y, y')] dx \]
當函數的變分 \(\delta y\) 足夠小時，可將上式進行泰勒展開，有
\[\begin{align} J[y + \delta y] - J[y] &= \int^{x_1}_{x_0} \left\{ [\delta y \frac{\partial}{\partial y} + (\delta y)' \frac{\partial}{\partial y'}]F + \frac{1}{2!} [\delta y \frac{\partial}{\partial y} + (\delta y)' \frac{\partial}{\partial y"}]^2 F + \cdots \right\} dx\\ &= \delta J[y] + \frac{1}{2!} \delta^2 J[y] + \cdots \end{align} \]
其中，
\[\delta J[y] \equiv \int^{x_1}_{x_0} [\frac{\partial F}{\partial y} \delta y + \frac{\partial F}{\partial y'}(\delta y)']dx \]
是泛函 \(J[y]\) 的一級變分。
泛函 \(J[y]\) 取極小值的必要條件是泛函的一級變分為 0，即：
\[\delta J[y] \equiv \int^{x_1}_{x_0} [\frac{\partial F}{\partial y} \delta y + \frac{\partial F}{\partial y'}(\delta y)']dx = 0 \]
將上式積分中的第二項分部積分，同時代入邊界條件，有
\[\begin{align} \delta J[y] &= \frac{\partial F}{\partial y'} \delta y|^{x_1}_{x_0} + \int^{x_1}_{x_0} [\frac{\partial F}{\partial y} \delta y - \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y]dx \\ &= \int^{x_1}_{x_0} [\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y'}] \delta y dx = 0 \end{align} \]
由於 \(\delta y\) 的任意性，可以得到
\[\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y'} = 0 \]
這個方程為 Euler-Lagrange 方程，它是泛函 \(J[y]\) 取得極小值的必要條件的微分形式。
數學知識補充
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泰勒展開
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分部積分