前言
極值與最值是很不容易弄清楚的兩個概念。
相關概念
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極值是在函數的定義域內的某一個自變量的取值\(x_0\)的小鄰域[定義域的某個小區間]內，\(f(x_0)\)和這個小鄰域內其他的函數值相比較，他是龍頭老大(或老小)；最值是函數在自己的定義域內的來說，是龍頭老大(或老小)，故極值不會在某個區間的端點處取到，而最值有可能在區間的端點處取到。
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說到極值和最值，都是針對函數值\(y\)而言；說到極值點或者最值點，都是針對函數的自變量\(x\)而言；且極值點和最值點都不是點，而是實數。
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函數的極大值和極小值之間沒有必然聯系，即極大值不一定比極小值大；
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對於可導函數\(f(x)\)而言，\(x_0\)成為函數\(f(x)\)的極值點的必要條件是\(f'(x_0)=0\)，其充要條件是\(f'(x_0)=0\)且導函數\(f'(x)\)在\(x_0\)的兩側的函數值異號，簡單的說，其充要條件是\(x_0\)是導函數\(f'(x)\)的變號零點。
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函數在極值點處不一定可導，比如函數\(f(x)=|x|\)，\(x=0\)是其極值點，但函數在\(x=0\)處不可導。
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函數的最大值不一定是極大值，也可能是端點值；函數的最小值不一定是極小值，也可能是端點值；
充要條件
分析：說明不必要性，比如函數\(y=x^3\)在\((-\infty,+\infty)\)上單調遞增，但是卻有\(f'(x)\ge 0\)，故必要性不成立。
比如常函數\(f(x)=c(c為常數)\)，滿足\(f'(x)\ge0\)，但是沒有單調性，故充分性不成立；
若函數\(f(x)\)單調遞增，則必有\(f'(x)\ge 0\)，故必要性成立。
說明：①在此區間的任意一個子區間內導函數都不恆為零，就排除了函數為常函數的可能；②已知函數的單調性[如單調遞增]求參數的取值范圍類問題中，如果我們令\(f'(x)>0\)恆成立，則會漏掉參數的取值，若令\(f'(x)\geqslant 0\)恆成立，則會多出參數的取值，所以最后求得參數的取值范圍后常常需要驗證等號的情形，以防止為常函數。
分析：圖像法，由題目可知，若\(p\)為真，則\(1-2m>0\)，解得\(m<\cfrac{1}{2}\)(依托\(y=\cfrac{1}{x}\)的單調性)；
導數法：由\(f(x)=\cfrac{1-2m}{x}\)在區間\((0，+\infty)\)上單調遞減，則有
\(f'(x)=-(1-2m)\cfrac{1}{x^2}\leq 0\)在區間\((0，+\infty)\)上恆成立，
即\(2m-1\leq 0\)，即\(m\leq \cfrac{1}{2}\)，這個結果是錯誤的，
原因是缺少驗證，當\(m=\cfrac{1}{2}\)時， 函數\(f(x)=0\)為常函數，
不符合題意，故舍去，即\(m<\cfrac{1}{2}\)。
解后反思：本題目利用函數\(f(x)\)的單調性求參數的取值范圍時，既可以利用單調性的性質，也可以利用導數法，但是導數法很容易出錯。
分析：比如函數\(f(x)=x^3\)，在\(R\)上單調遞增，無極值點，而\(f'(x)=3x^2\)，\(f'(0)=0\)，
但是很遺憾\(x=0\)不是極值點，應該是駐點和拐點，故充分性不成立；
若\(x_0\)為函數的極值點，也不能推出\(f'(x_0)=0\)，因為函數的極值點有可能就不可導，
比如函數\(f(x)=|x|\)，\(x=0\)是其極值點，但是函數在這一點(尖角點)並不可導。
說明：此時由於函數是可導函數，就排除了函數在\(x_0\)處不可導的情形，
故\(x_0\)為函數的極值點，能推出\(f'(x_0)=0\)，必要性成立。
分析：\(f'(x)=3x^2+2ax+b\)，由\(\begin{cases}f'(1)=0\\f(1)=10\end{cases}\)，
得到\(\begin{cases}3+2a+b=0\\1+a+b-a^2-7a=10\end{cases}\)，
解得\(\begin{cases}a=-2\\b=1\end{cases}\)，或\(\begin{cases}a=-6\\b=9\end{cases}\)，
當\(a=-2，b=1\)時，\(f'(x)=(3x-1)(x-1)\)，
此時\(x=1\)是導函數\(f'(x)\)的變號零點，但是在\(x=1\)處取到極小值，不符舍去；
當\(a=-6，b=9\)時，\(f'(x)=3(x-1)(x-3)\)，
此時\(x=1\)是導函數\(f'(x)\)的變號零點，且在\(x=1\)處能取到極大值。
故\(\cfrac{a}{b}=-\cfrac{2}{3}\)。
反思總結：由方程組解出來的根\(x=x_0\)，只能說明這一點的函數值是0，並不能說明這一點\(x_0\)處的左右的函數值的正負，有可能是不變號零點，那么這一點不會成為極值點，也有可能是變號零點，但是左右的正負值不符合。
