1.Baire定理
定理 （Baire綱定理） 完備的距離空間是第二類型集。
解釋：完備的距離空間$(X,d)$，$\forall x \in X$ 都是內點，因為$X$在$X$中是開集。一個無處稠密（nowhere dense）的集合就是閉包不含內點的集合不會是整個$X$，即$X$不是第一類型集，所以只能是第二類型集。
注：完備的距離空間是第二類型集，那么它的閉包至少存在一個內點。這個經常被用來證明。例如，開映射定理、閉圖像定理等。
2. 閉包和導集的區別
根據定義，集合的閉包是集合的導集和集合的並。導集是集合所有聚點組成的集合，不包含孤立點。所以閉包是集合導集和孤立點組成的集合。
3.閉集
在度量空間中，如果一個集合所有的極限點都是這個集合中的點，那么這個集合是閉集。
4.不動點定理
壓縮映射：設$(X,d)$是距離空間，$T$是$X$到$X$的映射，如果存在一個常數$\theta (0 \le \theta <1)$，對於所有的$x,y \in X$，滿足下述不等式：
$d(Tx,Ty)<\theta d(x,y)$
則稱$T$是$X$上的一個壓縮映射。
不動點定理：設$X$是完備的距離空間，$T$是$X$到$X$的壓縮映射，則$T$在$X$上有唯一的不動點$x^*$.即$Tx^*=x^*$是方程$Tx=x$在$X$上的唯一解。
5.施密特正交化
將一個線性無關的集合$\{x_n\}$進行施密特正交化。
$$e_1=\frac{x_1}{||x_1||}$$
$$e_2=\frac{x_2-<x_2,e_1>e_1}{||x_2-<x_2,e_1>e_1||}$$
$$e_{j+1}=\frac{x_{j+1}-\sum \limits_{k=1}^{j}<x_{j+1},e_k>e_k}{||x_{j+1}-\sum \limits_{k=1}^{j}<x_{j+1},e_k>e_k||}$$
注：本質上說就是讓$x_{j+1}$減去其在$e_k,k=0,\ldots,j$上的分量，就正交化了。然后再除以對應范數，進行單位化。
6.Hilbert空間的同構
n為的實（復）Hilbert空間與$R^n$($C^n$)同構。（保距離，保線性，保范數，保內積）
無限維可分Hilbert空間與$l^2$空間（$L^2[0,1]$）等距同構。
7.算子的連續性和有界性
連續性：對於$X$中的任何收斂於$x_0$的點列$\{x_n\}$，恆有$Tx_n \to Tx_0,n \to =\infty$
有界性：存在正常數$M$，使得對一切$x \in X$，有$||Tx|| \le M||x||$
一點連續，則處處連續：設X和Y是數域\textbf{F}上的線性賦范空間，$T:X \to Y$ 是一個線性算子。如果T在某一點$x_0$連續，則T在X上連續。
連續和有界的等價性：設X和Y是數域\textbf{F}上的線性賦范空間，$T:X \to Y$ 是一個線性算子。則T連續的充分必要條件使T有界。
8.算子范數
設X和Y是數域\textbf{F}上的線性賦范空間，$T:X \to Y$ 是一個線性算子。令
$$||T||= \mathop {\sup }\limits_{x \ne 0} \frac{||Tx||}{||x||}$$
則稱$||T||$為T的\textbf{算子范數}，簡稱為\textbf{范數}。
$$||T|| =\sup \{ ||Tx||:||x|| \le 1,~x \in X \}=\sup \{ ||Tx||:||x||= 1,~x \in X \}=\inf \{ M:||Tx|| \le M||x||,~\forall x \in X \}$$
9. 開映射定理、逆算子定理、閉圖像定理
開映射定理： 設T是Banach空間X上到Banach空間Y上的有界線性算子，則T是一個開映射。
逆算子定理：設T是Banach空間X上到Banach空間Y上一一對應的有界線性算子，則T的逆算子$T^{-1}$是有界線性算子。
等價范數定理：設線性空間X上的兩個范數$||\cdot||_1$和$||\cdot||_2$都能使X成為Banach空間，並且存在常數C，使得對於任意的$x \in X$有
$$||x||_2\le C||x||_1$$
則稱$||\cdot||_1$和$||\cdot||_2$等價。
注：用逆算子定理證明等價范數定理的精華就是構造了一個一一對應的有界線性算子，即構造單位算子，簡直神來之筆。
閉圖像定理：設T是Banach空間X上到Banach空間Y上閉線性算子，則T是有界線性算子。
10.弱收斂
弱收斂：$X$是賦范線性空間，$\{x_n\} \subset X$，如果存在$x \in X$，使得對於任意的$f \in X^*$，有$\lim \limits_{n \to +\infty}f(x_n)=f(x)$，則稱$\{x_n\}$弱收斂於$x$,記為${x_n}\mathop \to \limits^w x$
強收斂：$X$是賦范線性空間，$\{x_n\} \subset X$，如果存在$x \in X$，使得$\lim \limits_{n \to +\infty}||x-x_n||=0$，則稱$\{x_n\}$強收斂於$x$,記為${x_n}\mathop \to\limits^{s} x$
弱*收斂：$X$是賦范線性空間，$\{f_n\} \in X^*$，對於任意的$x \in X$，恆有$f_n(x) \to f_0(x),n \to +\infty$，則稱$\{f_n\}$弱*收斂於$f_0$
11.對偶算子
設$X,Y$是賦范線性空間，$T \in B(X,Y)$.$T$的對偶算子是指$T^*:Y^* \to X^*$,
$$((T^*f)(x)=f(Tx)), \forall f \in Y^*,x \in X$$
設$X,Y$是賦范線性空間，$T \in B(X,Y)$,則$T^*$是有界線性算子，而且$||T^*||=||T||$.
注：可能會出性質的相關證明，要求對定義很熟
12.譜理論
復數空間由預解集$\rho (T)$和譜點構成$\sigma (T)$。$C=\rho (T) + \sigma (T)$
其中，譜點由點譜、連續譜和剩余譜構成。
點譜：$\sigma_p(T)=ker(\lambda I-T)$，是特征值的全體；
連續譜：$\sigma_c(T)=\{\lambda \in C: ker(\lambda I-T)=\{0\},\overline {R(\lambda I -T)}=X,R(\lambda I -T) \ne X\}$
剩余譜：$\sigma_r(T)=\{\lambda \in C: ker(\lambda I-T)=\{0\},\overline {R(\lambda I -T)} \ne X\}$
13.一致有界定理
設$X$是Banach空間，$Y$是賦范線性空間，$W \subset B(X,Y)$. 如果對於任意的$x \in X$,$sup\{||Tx||:T \in W \}=M(x) < +\infty$，則
$$sup\{||T||: T \in W\} < +\infty$$
等價地說$\{||T||:T \in W\}$為有界集。
14.Riesz表示定理
若$f: H \to F$是Hilbert空間$H$上的有界線性泛函，則存在唯一的$x_0 \in H$，使得對任意的$x \in H,f(x)=<x,x_0>$,並且有$||f||=||x_0||$