應用泛函分析的知識點

度量空間

線性空間實例：向量空間$K^n$、p方可和數列空間$l^p$、p冪可積函數空間$L^p(E)$、連續函數空間$C[a,b]$、k階連續導數函數空間$C^k[a,b]$、矩陣空間$M_{mn}$

度量空間=定義了距離的集合。

• Holder不等式$\Rightarrow$柯西不等式$\Rightarrow$向量空間的距離
• Minkowski不等式$\Rightarrow$p方可和數列空間的距離

拓撲性質

• 基於開球（鄰域）定義：內點/開集、聚點/導集
• 任意多開集的並是開集、有限個開集的交也是開集、開集的余集是閉集

連續映射：開子集的原像也是開子集

• 稠密集：度量空間X中，$\bar{A}\supseteq B$，則A在B中稠密。B=X時，稱A為X的稠密子集。
• 可分性：可數子集稠密$\Rightarrow$可數正交基
• 完備性：柯西序列收斂
• 緊集：任意序列包含收斂子列$\Rightarrow$閉集、有界、完備

賦范線性空間

范數，一個泛函：非負，三角不等式，比例

所有線性空間為凸集，Banach-schauder不動點定理

Shauder基(e)：$\forall x \exists a_i  \left \|  x-\sum_{i=1}^\infty a_ie_i\right \|=0 $

有限維賦范空間的完備性：每個分量構成一個柯西序列

內積空間

內積：非負、比例、共軛對稱、共軛雙線性函數

內積導出的范數，存在平行四邊形公式

正交、正交補、正交和、正交投影、正交基、Gram-Schmit正交化

最佳逼近：$\exists y_0 = \arg \inf_{y\in M} \left \| x-y \right \|$

線性算子

同一數域上的兩個線性空間之間的線性映射

有限維空間上的線性算子可用矩陣表示

有界：$\left \| Tx \right \|_Y \leqslant C\left \| x \right \|_X$，這里C為一常數

連續性$\Leftrightarrow$ 有界；一點連續，處處連續

線性算子空間B(X,Y)，如果Y完備，那么B(X,Y)也完備。

線性泛函

對偶空間：賦范空間X上的有界線性泛函構成賦范空間時，稱為X的對偶空間；H空間自對偶。

Riesz定理：H空間

• 任意有界線性泛函可用內積表示$\forall f:H\rightarrow K\exists z\in H, \forall x f(x)=<x,z>,\left \| z \right \|=\left \| f \right \|$
• 任意有界雙線性泛函$f(x,y)=<Sx,y>，S:H_1\rightarrow H_2\left \| S \right \|=\left \| f \right \|$

Hilbert空間的有界線性算子

伴隨算子T*：對於算子T，<Tx,y>=<x,T*y>

• $Tx(t)=\int_a^bK(t,s)x(s)ds,x(s)\in L^2[a,b];T*y(t)=\int_a^b\overline{K(s,t)}y(s)ds$

自伴算子：T*=T

酉算子：T*=T^-1

正規算子：T*T=TT*

正算子：<Tx,x> >= 0

正定算子：<Tx,x> >= C|x|

投影算子：$\forall x\in H, x=Px+y\,where\,Px=x_0\in M, y\in M^\perp; H=P(H)\bigoplus N(P)$。投影算子必為自伴算子和正算子。自伴、冪等的有界線性算子為投影算子。

無界線性算子：其定義域不可能為全空間。其中一種為稠定線性算子$T:D(T)\rightarrow H\,where\,\overline{D(T)}=H$

泛函極值

在賦范空間X上，$x_*=\arg \min_{x\in D}f(x)\,where\,D\in X,f:X\rightarrow R$

Gateaux 微分：$\delta T(x,h)=\lim_{a\to 0}\frac{T(x+ah)-T(x)}{a}$

Frechet 微分：$\delta T(x)=\lim_{\left |h  \right |\to 0}\frac{T(x+h)-T(x)-dT(x+h)}{\left | h \right |}$

經典泛函極值：$J(x)=\int_{t_1}^{t_2}f(t,x,\dot{x})dt\Rightarrow \delta J(x)=\int_{t_1}^{t_2}(f_x-\frac{f}{dt}f_{\dot{x}})hdt+[f_{\dot{x}}h]_{t_1}^{t_2}=0$

• 歐拉-拉格朗日方程：$f_x(t,x,\dot{x})-\frac{d}{dt}f_{\dot{x}}(t,x,\dot{x})=0$

約束條件：$\varphi_i(x)=0$

正則點：$\varphi_i(x_0)=0,\varphi_i'(x_0)$是n個線性無關的有界線性泛函，則稱$x_0$為約束條件的正則點。從而$\varphi_i'(x_0)h=0\Rightarrow f'(x_0)h=0$

拉格朗日乘子法：設$x_0$為約束條件的正則點，如果也是泛函f的極值點，則存在$\lambda_i$，使得泛函$L(x,\lambda)=f(x)+\sum_i^n\lambda_i\varphi_i(x_0)$以$x_0$為駐點。

線性算子方程

線性算子方程的解是線性算子的逆問題。譜論討論逆算子的一般性質以及和原算子的關系。

• 如果λI-T存在有界逆算子，λ稱為正則值。正則值的全體稱為正則集$\rho(T)$
• 否則λ稱為譜點，所有譜點稱為T的譜$\sigma(T)$。這里$\rho(T)\bigcup\sigma(T)=C$
  • (λI-T)x=0有非零解，λ稱為特征值；特征值的全體稱為點譜$\sigma_p(T)$
  • (λI-T)x=0只有零解，其中如果(λI-T)在X中稠密，λ稱為連續譜$\sigma_c(T)$，否則為剩余譜$\sigma_r(T)$

自伴算子的特征值為實數，特征向量相互正交

自伴二階線性常微分算子：$L[𝑦]=𝑝_0 (𝑥)y′′+𝑝_1 (𝑥)𝑦′+𝑝_2(𝑥)𝑦, <𝐿[𝑦],𝑧> = <𝑦,𝐿[𝑧]>\Rightarrow 𝐿[𝑦]=(𝑝𝑦′ )′−𝑞𝑦, [\bar{𝑧}𝑦′−\bar{𝑧′}𝑦]_a^b=0$

自伴二階線性偏微分算子：$L[u]=\frac{\partial }{\partial x}(p\frac{\partial u}{\partial x})+\frac{\partial }{\partial y}(p\frac{\partial u}{\partial y})+qu,<L[u],v>=<u,L[v]>\Rightarrow [u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}]_\Sigma =0$

算子方程的近似計算

弗雷德霍姆積分方程：$y(s)=f(x)+\lambda\int_a^bK(s,t)y(t)dt,\int_a^b\int_a^b\left |  K(s,t)\right |^2dtds<+\infty$

• |λ|充分小時，根據壓縮原理，$\left \| Tx-Ty \right \|^2=\lambda^2\int_a^b\int_a^b\left |  K(s,t)\right |^2dtds\left \| x-y \right \|^2<\left \| x-y \right \|^2$
• 由此可導出逐次逼近法

變分原理：把算子方程轉換為泛函極值

• 設空間H中的自伴線性算子A，對於給定函數$f\in R(A), Au=f$為確定性算子方程，如A為正算子，則該方程與泛函$J[u]=<Au,u>-<u,f>-<f,u>$的極小值問題等價。
• 對於非自伴算子A，借助輔助方程A*v=g，可轉化為二元泛函的極小值問題$J[u,v]=<Au,v>-<u,g>-<f,v>$
• 特征值問題Au=λBu，對應的泛函極值<Au,v>-λ<Bu,v>=0
• 瑞利-里茨法：采用滿足邊值條件的近似函數$u=\sum_ka_k\varphi_k\Rightarrow J[u]=\bar{a}Ba-2Re[\bar{a}g]\,where\,B=[<A\varphi_k,\varphi_l>],g=[<f,\varphi_k>]^T$
• 有限元：把計算區域用三角形覆蓋，[K](u)=P。K為剖分所得矩陣，P為邊界條件向量，u為n各單元頂點u值構成的向量。

 加權余量法

$Au(x)=f(x),Bu(x_b)=g(x_b),x\in\Omega,x_b\in\partial \Omega$

$R_e(x)=Au^{(n)}(x)-f(x),R_b(x_b)=Bu^{(n)}(x_b)-g(x_b),<R_e,w_\mu>_\Omega+<R_b,Pw_\mu>_{\partial\Omega}=0$

• 矩量法：$R_b=0\Rightarrow <Au^{(n)},w_\mu>_\Omega=<f,w_\mu>_\Omega$
  • $u^{(n)}=\sum_kc_k\varphi_k$
  • 權函數選擇：Galerkin $w=\varphi$、點配法$w_\mu(x)=\delta(x-x_\mu)$、子域法$w_\mu(x)=1\,if\,x\in\Omega_\mu$、最小二乘法
• 邊界積分法：$R_e=0\Rightarrow <Bu^{(n)},Pw_\mu>_{\partial\Omega}=<g,Pw_\mu>_{\partial\Omega}$
  • 邊界元：用滿足內域條件的函數來逼近邊界，對邊界進行剖分，從而降低問題維度

廣義函數

基本空間D(Ω)

• 定義在Rⁿ中開域Ω上無限次可微的函數全體$C^\infty(\Omega)$
• 設$\varphi(x)$為定義在Ω的函數，$\varphi(x)$的支集：$Supp\varphi(x)=\overline{\{x|x\in\Omega,\varphi(x)\neq 0\}}$
• 具有緊支集的$C^\infty(\Omega)$中函數集合$C_0^\infty(\Omega)$
• 收斂性：$\varphi_n$定義在緊支集 K 上，$\lim_{j\to 0}\forall a \max_{a\in K}(\partial^\alpha \varphi_j(x)-\partial^\alpha \varphi(x))\to 0$

廣義函數：在基本空間D(Ω)上的連續線性泛函f。f的全體記為D'(Ω)。注意和基本空間一樣，不是賦范線性空間。

• 連續性：$\varphi_n$收斂$\Rightarrow<f,\varphi_n>$收斂
• $\delta_a$函數：$\delta_a(\varphi)=<\delta_a,\varphi>=\varphi(a)$
• 導數：$<\partial f/\partial x,\varphi>=<f,\partial\varphi/\partial x>$，並且求導計算保持收斂性。
• 乘法：$<tf,\varphi>=<f,t\varphi>$
• 卷積：$<S*T,\varphi>=<S(x), <T(y), \varphi(x+y)>>$
• 平移：$<t_hf,\varphi>=<f,t_{-h}\varphi>$
• 存在性：每個局部可積函數都可定義一個廣義函數$\forall f\in L(\Omega),\exists T_f, \forall \varphi\in C_0^\infty(\Omega),T_f(\varphi)=<f,\varphi>=\int_\Omega f(x)\varphi(x)dx$

傅里葉變換

• 速降函數：$\forall a\forall m\exists C_{am},|\partial ^a\varphi (x)|\leqslant \frac{C_{am}}{(1+|x|^2)^m}$
• 速降函數空間$S(R^n)\supset D(R^n)$
• $\varphi\in S(R^n)\Rightarrow F(\varphi), F^{-1}\in S(R^n)$
• $S(R^n)$連續泛函的全體稱為緩增廣義函數空間$S'(R^n)$
• $<F[T],\varphi>=<T,F[\varphi]>, \forall \varphi\in S(R^n) \forall T\in S'(R^n)$

Sobolev空間：巴拿赫空間

• 函數集合$W^{m,p}(\Omega)=\{u\in L^p(\Omega)|\partial^au\in L^p(\Omega),|a|\leqslant m\}$
• 范數：$\left \| u \right \|_{m,p}=(\int_\Omega\sum_{|a|\leqslant m}|\partial^audx|^p)^{1/p}$
• $W^{0,p}(\Omega)=L^p(\Omega),H^m(\Omega)=W^{m,2}(\Omega)$

小波變換

窗口傅里葉變換：構造了可以平移的窗口，頻域和時域窗口不能同時達到最小值

• $G_f(\omega,\tau)=\int_{-\infty}^\infty f(t)g(t-\tau)e^{-j\omega t}dt$

選擇平方可積，平均值為零的函數$\psi(t)$來構造可平移、可伸縮的基本小波：$\psi_{a,b}(t)=\frac{1}{\sqrt a}\psi(\frac{t-b}{a})$

定義連續小波變換為$W_f(a,b)=\frac{1}{\sqrt a}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\Psi(\frac{t-b}{a})dt$

逆變換為：$f(t)=\frac{1}{c_\psi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{a^2}W_f(a,b)\Psi_{a,b}(t)dadb$

連續小波對a,b具有共變性

• $f(t-b_0)\leftrightarrow W_f(a,b-b_0)$
• $f(a_0t)\leftrightarrow \frac{1}{\sqrt a_0}W_f(a_0a,a_0b)$

參考文獻

• 王長清，近代應用解析數學基礎，西安電子科技大學出版社，2001
• 張恭慶、韓源渠，泛函分析講義，北京大學出版社，2008