以下所有題目來自科學出版社 許天周的《應用泛函分析》。
1. 設$1 \le p \le q \le +\infty$，證明$l^p \subset l^q$。
證明：$\forall x=(x_1,x_2,\ldots) \in l^p$，$\forall \varepsilon >0$，恆存在自然數N，使得$\sum_{k=N}^{+\infty}{||x_k||}^p<\varepsilon^p$，
那么可得
${||x_k||}^p<\varepsilon^p \Rightarrow {||x_k||}<\varepsilon，p \ge 1$，
進而
$\sum_{k=N}^{+\infty}{||x_k||}^q \le \varepsilon^{q-p}\sum_{k=N}^{+\infty}{||x_k||}^p< + \infty$
所以$x \in l^q$
2. 設[a,b]是有界閉區間，證明$L^2([a,b]) \subset L^1([a,b])$。
證明：$\forall x \in L^2([a,b]) $，有$[\int_a^b|f(t)|^2dt]^{\frac{1}{2}}<+\infty$，那么
$\int_a^b|f|dt \le [\int_a^b|f(t)|^2dt]^{\frac{1}{2}}[\int_a^b 1 dt]^{\frac{1}{2}} < +\infty$
因此，$ x \in L^1([a,b]) $
3. 設$(X,d)$是一個距離空間，中心在$x_0$，半徑為r的開球定義為
$B(x_0,r)=\{ x \in X: d(x,x_0) < r \}$
集合$A \subset X$是開集是指對於任意的$x_0 \in A$，恆存在以$x_0$為中心的開球包含在A中。
（1）證明開球是開集；
（2）開集全體構成的集合是X上的一個拓撲。
證明：
（1）對於任意開球$B(x_0,r)=\{ x \in X: d(x,x_0) < r \}$，存在$B(x_0,r/2) \subset B(x_0,r)$，所以開球是開集。
（2）顯然，開集全體構成的集合滿足拓撲的定義。
4. 證明$d(x,y)=|arctanx-arctany|$是R上的距離。
證明：(1)非負性：$d(x,y)=|arctanx-arctany| \ge 0$，$d(x,y)=|arctanx-arctany|=0 \Leftrightarrow x=y $ 因為$arctanx$是一個單調函數；
(2)交換性：顯然$d(x,y)=d(y,x)$；
(3)三角不等式：$\forall x,y,z \in R$,
$d(x,y)=|arctanx-arctany|=|arctanx-arctanz+arctanz-arctany| \le |arctanx-arctanz|+|arctanz-arctany|=d(x,z)+d(y,z)$
5. 設$(X,d)$是距離空間，對於任意的$x \in X$，定義$f(x)=inf_{y \in A}d(x,y)$，證明$f(x)$是連續函數。
證明：欲證$f(x)$是連續函數，只需證明$|f(x)-f(x_0)|<d(x,x_0)$。
對於任意的$x,x_0,y \in X$，由三角不等式，有$d(x,y)<d(x,x_0)+d(x_0,y)$，進一步有
$inf_{y \in A}d(x,y)<d(x,x_0)+inf_{y \in A}d(x_0,y)$
同理有，
$inf_{y \in A}d(x_0,y)<d(x,x_0)+inf_{y \in A}d(x,y)$，
那么
$|f(x)-f(x_0)|<d(x,x_0)$。
6. 設$A,B$為距離空間$(X,d)$中的兩個不相交的閉集。試證明存在X上的連續函數$f(x)$是的當$x \in A$時，$f(x)=0$;當$x \in B$時，$f(x)=1$。
解： $f(x)=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$
7. 設$X,Y$都是距離空間，A在X中稠密，$f:X \to Y$是連續映射，證明$f(A)$在$f(X)$中稠密。
證明：$\forall y \in Y$，存在$x \in X$，是的$f(x)=y$。A在X中稠密，所以存在點列$\{x_n \} \in A$，使得$x_n \to x$，由於$f$是連續映射，所以$f(x_n) \to f(x),n \to \infty$
所以$f(A)$在$f(X)$中稠密
8. 設$c:=\{ x= (x_1,x_2,\ldots): x_i \in F, \lim_{k \to + \infty}x_k存在\}$，在c上定義如下距離
$d_{\infty}(x,y)=sup_k|x_k-y_k|$
證明：c是完備的距離空間。
證明： 設$lim_{k \to + \infty}x_k=x$，基本點列${x_n}$，那么
$d_{\infty}(x_m,x)<\varepsilon/2,\exists n>N$
由距離空間的三角不等式，有
$d_{\infty}(x_m,y_n) \le d_{\infty}(x_m,x)+d_{\infty}(x_n,x)<\varepsilon$
證畢。
9. 設$X$是一個全有界的距離空間，試證明對於每一個無限子集$Y \subset X$都有一個直徑小於給定的$\varepsilon >0$的無線子集$Y_0$。
證明：因為$X$是一個全有界的距離空間，那么$X$必存在$\varepsilon/2$網$M={x_1x,x_2,\ldots,x_n}$，所以$Y$在這n個球中。
由於$Y$是無限集，那么n個開球中一定有一個球包含$Y$的無限子集。(抽屜定理)
10. 如果距離空間$X$是緊的，證明$X$是完備的，試說明完備的空間不一定緊。
證明：設$\{x_n \}$是$X$中的一個柯西列。因為距離空間$X$是緊的，所以存在子列$\{x_{n_k} \}$收斂，即$k \to +\infty,x_{n_k} \to x,x \in X$。
假設$\varepsilon >0$，根據柯西列和緊性，有
$d(x_n,x_{n_k})<\varepsilon/2,d(x,x_{n_k})<\varepsilon/2$
那么，有
$d(x_n,x) \le d(x_n,x_{n_k})+d(x,x_{n_k})<\varepsilon$
又因為$x \in X$，所以$X$是完備的。
完備的空間不一定緊，例如完備空間$R$，無窮序列${1,2,3,\ldots}$沒有收斂子列。證畢。
11. 舉例說明全有界集不一定是列緊集。
證明：先說明一下定義，全有界集是指存在有限子集構成的$\varepsilon$網。列緊集是指集合中的任何序列都有收斂子列，並且收斂點在集合內。
因為我們知道列緊=全有界+完備。所以我們可以找一個收斂點不在集合中例子。
例如，$A=(0,1) \subset X=(0,2)$，$d(x,y)=|x-y|$。$A$是全有界，因為$\forall \varepsilon>0$，都能找到有限長的單調遞增的序列$\{x_n\}，\sup \limits_n{d(x_n,x_{n+1})}<\varepsilon$，使得A存在$\varepsilon$網。
但是，對於序列$\{\frac{1}{n}\}$，收斂到0，但0不在$A$內，所以$A$不是列緊集。
12. 在距離空間中舉例說明，對於緊性而言全有界性是必要的，但不是充分的。
解： $(0,1)$
13. 如果距離空間是$(X,d)$緊的，證明對於任意的$\varepsilon>0$，空間$X$都有一個有限子集$M$，使得每一點$x \in X$到M的距離$d(x,M)=\inf \limits_{y \in M}d(x,y) < \varepsilon$。
證明：距離空間是$X$緊的，所以是全有界的。那么$X$存在有限子集$M$構成的$\varepsilon$網，使得每一點$x \in X$到M的距離$d(x,M)=< \varepsilon$。
14. 舉例說明不動點定理的完備性條件是不可缺少的。
解：$(0,1]$，$Tx=\frac{x}{2}$，$T$是壓縮映射，但是沒有不動點。因為不動點在空間外~
15. 設$X$是一個距離空間，當$x \ne y$時，如果$T:X \to X$滿足$d(Tx,Ty)<d(x,y)$，而且T有一個不動點，證明這個不動點是唯一的。
證明：假設存在兩個不動點$x \ne x^* \in X$，那么
$d(x,x^*)=d(Tx,Tx^*) <d(x,x^*)$
欲使上式成立，只能是$d(x,x^*)=0$，則$x=x^*$，與假設矛盾。證畢。
16. 如果$T$是壓縮的，證明$T^n$也是壓縮的。如果$T^n$是壓縮的，那么$T$不一定是壓縮的。
證明：(1) $T$是壓縮的，那么存在$0 \le \theta <1$，使得$d(Tx,Ty)<\theta d(x,y)$。那么
$$d(T^nx,T^ny)<\theta d(T^{n-1}x,T^{n-1}y)<\ldots<\theta^n d(x,y)$$
因為
$$0 \le \theta^n<1$$
所以$T^n$也是壓縮的。
(2) $x=(x_1,x_2) \in R^2$，定義$Tx=(x_2,0)$，$d(x,y)=\sup \limits_k |x_k-y_k|$，那么$T$不是壓縮的，$T^2$是壓縮的。
17. 迭代序列$x_n=f(x_{n-1})$收斂的一個充分條件是，$f$是連續可微的，而且$|f'(x)| \le \alpha <1$，試用Banach不動點定理來驗證它。
證明：$\forall x,y$，定義$d(x,y)=|x-y|$，由微分中值定理，存在$\beta \in [min(x,y),max(x,y)]$, 使得
$$|f(x)-f(y)|=|f'(\beta)||x-y| \le \alpha|x-y|$$
那么，$f$是壓縮的，由Banach不動點定理，存在唯一的收斂點使得x_n=f(x_{n-1}收斂。
18. 設$X$是賦范線性空間，$K \subset X$是緊集，$T:K \to K$滿足
$$||Tx-Ty||<||x-y||(x \ne y)$$
證明$T$有唯一的不動點。
證明：令$d(x,y)=||x-y||$，根據壓縮映射原理，可知$T$有唯一的不動點。
19. 設$(X,d)$是距離空間，其中$X=[1,+\infty)$，$d$是通常的距離，定義映射$T$為$Tx=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$，證明$T$是一個壓縮映射，對於$T$來說，請問最小的壓縮系數和不動點是多少？
解： 定義
$$d(x,y)=|x-y|,|Tx-Ty|=|x-y||\frac{1}{2}-\frac{1}{xy}| \le \frac{1}{2} |x-y|$$
因為$x,y \in [1,+\infty]$。
所以$T$是一個壓縮映射。壓縮系數最小是$\frac{1}{2}$
令$Tx=x$，得不動點為$\sqrt{2}$。
20. 設$(X,d)$是一個距離空間，對於任意的$x,y \in X$，$x \ne y$，$T$滿足
$d(Tx,Ty)<d(x,y)$
(1)證明$T$最多有一個不動點。
(2)說明$T$可能沒有不動點。
解：(1)
假設存在互異的不動點$x,x'$，那么
$d(x,x')=d(Tx,Tx')<d(x,x')$
則$x=x'$。證畢。
(2)定義映射$T$為$Tx=x+\frac{1}{x}$，不動點在無窮遠處，所以沒有。
21. 請說明用迭代公式$x_n=g(x_{n-1})=(1+x_{n-1}^2)^{-1}$，能夠解方程$f(x)=x^3+x-1=0$，對於$x_0=1$，計算$x_1,x_2,x_3$，並且給出$d(x,x_n)$的估計。
解：$f(x)=x^3+x-1=0\Leftrightarrow x=(x^2+1)^{-1}$，所以求解方程$f(x)=x^3+x-1=0$等價於求解壓縮映射$Tx=g(x)=(x^2+1)^{-1}$的不動點。
根據微分中值定理，$\forall x,y \in R$，$\exists \beta \in [min(x,y),max(x,y)]$，使得
$$d(Tx,Ty)=|g'(\beta)|d(x,y)$$
現討論$g'(x),x<0$的大小。
$$g'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2},g''(x)=\frac{-2\cdot (1+x^2)^2+2x \cdot 2(1+x^2)\cdot 2x}{(1+x^2)^4}$$
設分子為$p(x)=-2\cdot (1+x^2)^2+2x \cdot 2(1+x^2)\cdot 2x=6x^4+4x^2-2$，利用求根公式，可得$p(x)=0$的解為$x=\pm {\sqrt{3} \over 3}$，舍去正值得到
$g'(x)$的最大值點。$g'(-{\sqrt{3} \over 3})={3\sqrt{3} \over 8}<1$
因此，$d(Tx,Ty) \le {3\sqrt{3} \over 8}d(x,y)$，所以存在不動點，使得方程$f(x)=x^3+x-1=0$有解。
對於$x_0=1$，
$$x_1=g(x_0)=\frac{1}{2},x_2=g(x_1)=\frac{4}{5},x-3=g(x_2)=\frac{25}{41}$$
$$d(x,x_n) \le {3\sqrt{3} \over 8}d(x,x_{n-1}) \le \ldots \le ({3\sqrt{3} \over 8})^{n-1} d(x,1)$$
22. 映射$T:[a,b] \to [a,b]$稱為$[a,b]$上滿足Lipschitz條件是指存在一個常數K使得對於任意的$x,y \in [a,b]$，滿足
$$|T(x)-T(y)| \le K|x-y|$$
(1) T是否是一個壓縮映射？
(2) 若T(x)有連續導數，試證明T滿足Lipschitz條件。
解：(1)$K<1$時是一個壓縮映射。(2)再次使用微分中值定理即可。
23. 設$(X,d)$是距離空間，$A$和$B$是$X$中的緊集，證明必存在$x_0 \in A,y_0 \in B$，使得$d(A,B)=d(x_0,y_0)$，其中$d(A,B)=\inf\{d(x,y):x \in A y \in B\}$.
證明：由下確界定義，一定存在序列$\{x_n\} \subset A,\{y_n\} \subset B$，使得$d(A,B)=\lim \limits_{n \to +\infty}d(x_n,y_n)$，因為$A$和$B$是$X$中的緊集，那么必存在子列$\{x_{n_k}\},\{y_{n_k}\}$使得$x_{n_k} \to x_0,y_{n_k} \to y_0$。由$d(x,y)$的連續性得，$d(A,B)=d(x_0,y_0)$。
24. 設$A$是$R^2$中的有界閉集，$T$是$A \to A$的算子。對於任意的$x,y \in A$，有$d(Tx,Ty)<d(x,y)$.試證明$T$在$A$中有唯一的不動點。
證明：利用18題的方法即可。
25. 設$(X,d)$是完備的距離空間，$T$是$X \to X$的算子。如果
$$\alpha_n=\sup \limits_{x,y \in X}\frac{d(T^nx,T^ny)}{d(x,y)} \to 0$$
證明$T$在$X$中有唯一的不動點。
證明： 存在性：根據條件，存在$a_{n_0}\in [0,1)$，使得
$$\alpha_{n_0}=\sup \limits_{x,y \in X}\frac{d(T^nx,T^ny)}{d(x,y)}$$
上式滿足壓縮映射條件，故$T^{n_0}$在$X$上存在唯一的不動點$x^*$，即$T^{n_0}x^*=x^*$
又由於$T^{n_0}(Tx^*)=T(T^{n_0}x^*)=Tx^*$，所以$Tx^*=x^*$
唯一性：假設存在互異的不動點$x,x'$，那么
$$\alpha_n=\sup \limits_{x,x' \in X}\frac{d(T^nx,T^nx')}{d(x,x')} =\sup \limits_{x,x' \in X}\frac{d(x,x')}{d(x,y)} =1$$
與題設產生矛盾。
證畢。