（劍指Offer）面試題43：n個骰子的點數

題目：

把n個骰子仍在地上，所有骰子朝上一面的點數之和為s。輸入n，打印出s的所有可能的值出現的概率。

思路：

s可能出現的值的范圍為：n--6*n

1、全排列

回溯法枚舉n個骰子（6面）的全排列，然后計算每一次排列所有值的和，並統計該和的出現的次數，除以6^n（全排列的全部可能性），即為概率。(這里就不列出代碼)

2、遞歸思想

通過遞歸的思想將n個骰子的點數累加。

要求出n個骰子的點數和，可以先求出前n-1個骰子的點數和，然后加上第n個骰子的點數；

遞歸結束條件：n=1，此時某個點數和出現的次數+1；

3、動態規划思想

假設f(m,n)表示投第m個骰子時，點數之和n出現的次數,投第m個骰子時的點數之和只與投第m-1個骰子時有關。

遞歸方程：f(m,n)=f(m-1,n-1)+f(m-1,n-2)+f(m-1,n-3)+f(m-1,n-4)+f(m-1,n-5)+f(m-1,n-6)，表示本輪點數和為n出現次數等於上一輪點數和為n-1，n-2，n-3，n-4，n-5，n-6出現的次數之和。

初始條件：第一輪的f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6)均等於1.

代碼：

1、遞歸方法

#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;

int g_maxValue=6;

void Probability(int original,int index,int curSum,int* pProbability){
    if(index==0){
        pProbability[curSum-original]+=1;
        return;
    }
    for(int i=1;i<=6;i++)
        Probability(original,index-1,curSum+i,pProbability);
}

void PrintProbability(int n){
    if(n<1)
        return;
    int maxSum=n*g_maxValue;
    int* pProbability=new int[maxSum-n+1];
    for(int i=n;i<=maxSum;i++)
        pProbability[i-n]=0;
    int curSum=0;
    Probability(n,n,curSum,pProbability);

    int total=pow((double)g_maxValue,n);
    double prob=0;
    for(int i=n;i<=maxSum;i++){
        double ratio=(double)pProbability[i-n]/total;
        prob+=ratio;
        cout<<i<<" "<<ratio<<" "<<endl;
    }
    cout<<prob<<endl;
    cout<<endl;

    delete[] pProbability;
}

int main()
{
    int n=5;
    PrintProbability(n);
    return 0;
}

2、動態規划

#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;

int g_maxValue=6;
void PrintProbability(int n){
    if(n<1)
        return;

    int* pProbability[2];
    pProbability[0]=new int[g_maxValue*n+1];
    pProbability[1]=new int[g_maxValue*n+1];

    for(int i=0;i<=g_maxValue*n;i++){
        pProbability[0][i]=0;
        pProbability[1][i]=0;
    }

    int flag=0;
    for(int i=1;i<=g_maxValue;i++)
        pProbability[flag][i]=1;

    for(int k=2;k<=n;k++){
        for(int i=0;i<k;i++)
            pProbability[1-flag][i]=0;
        for(int i=k;i<=g_maxValue*k;i++){
            pProbability[1-flag][i]=0;
            for(int j=1;j<=i && j<=g_maxValue;j++)
                pProbability[1-flag][i]+=pProbability[flag][i-j];
        }
        flag=1-flag;
    }

    int total=pow((double)g_maxValue,n);
    double prob=0;
    for(int i=0;i<=g_maxValue*n;i++){
        //cout<<pProbability[flag][i]<<endl;
        double ratio=(double)pProbability[flag][i]/total;
        prob+=ratio;
        cout<<i<<" "<<ratio<<" "<<endl;
    }
    cout<<prob<<endl;
    cout<<endl;

    delete[] pProbability[0];
    delete[] pProbability[1];
}

int main()
{
    int n=5;
    PrintProbability(n);
    return 0;
}