TSP(旅行者問題)——動態規划詳解（轉）

1.問題定義

      TSP問題（旅行商問題）是指旅行家要旅行n個城市，要求各個城市經歷且僅經歷一次然后回到出發城市，並要求所走的路程最短。

      假設現在有四個城市，0,1,2,3，他們之間的代價如圖一，可以存成二維表的形式

                     

                      圖一                                                                                               

        現在要從城市0出發，最后又回到0，期間1，2，3都必須並且只能經過一次，使代價最小。

2.動態規划可行性

        設s, s1, s2, …, sp, s是從s出發的一條路徑長度最短的簡單回路，假設從s到下一個城市s1已經求出，則問題轉化為求從s1到s的最短路徑，顯然s1, s2, …, sp, s一定構成一條從s1到s的最短路徑，所以TSP問題是構成最優子結構性質的，用動態規划來求解也是合理的。

3.推導動態規划方程

        假設從頂點s出發，令d(i, V’)表示從頂點i出發經過V’(是一個點的集合)中各個頂點一次且僅一次，最后回到出發點s的最短路徑長度。

        推導：(分情況來討論)

        ①當V’為空集，那么d(i, V’)，表示從i不經過任何點就回到s了，如上圖的 城市3->城市0(0為起點城市)。此時d(i, V’)=Cis(就是 城市i 到 城市s 的距離)、

        ②如果V’不為空，那么就是對子問題的最優求解。你必須在V’這個城市集合中，嘗試每一個，並求出最優解。

           d(i, V’)=min{Cik +  d(k, V’-{k})}

           注：Cik表示你選擇的城市和城市i的距離，d(k, V’-{k})是一個子問題。

        綜上所述，TSP問題的動態規划方程就出來了：

        

4.實例分析

     現在對問題定義中的例子來說明TSP的求解過程。(假設出發城市是 0城市)

    

    ①我們要求的最終結果是d(0,{1,2,3}),它表示，從城市0開始，經過{1,2,3}之中的城市並且只有一次，求出最短路徑.

    ②d(0,{1,2,3})是不能一下子求出來的，那么他的值是怎么得出的呢？看上圖的第二層，第二層表明了d(0,{1,2,3})所需依賴的值。那么得出：

       d(0,{1,2,3})=min  {

                                    C01+d(1,{2,3})

                                    C02+d{2,{1,3}}

                                    C03+d{3,{1,2}}

                                  }

     ③d(1,{2,3})，d(2,{1,3})，d(3,{1,2})同樣也不是一步就能求出來的，它們的解一樣需要有依賴，就比如說d(1,{2,3})

       d(1,{2,3})=min{

                              C12+d(2,{3})                             

                              C13+d(3,{2})

                              }

       d(2,{1,3})，d(3,{1,2})同樣需要這么求。

    ④按照上面的思路，只有最后一層的，當當V’為空集時，Cis的值才可以求，它的值是直接從

這張表里求得的。

5.編程思路

        將d(i, V’)轉換成二維表，d[i][j]

        在程序中模擬填表的過程，主要要考慮到j這個參數的表示，它要代表一個集合，可以用二維數組來表示。

6.源代碼

 實現上略有不同，d[i][k] 表示從i出發經過k中所有標志位為1的點（這里面是包括i的）后到達終點。

#include <iostream>
#include <memory.h>
#include <climits>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define MAX_CITY_NUM 10

// the number of the cities
int n;
// the city map
int cityMap[MAX_CITY_NUM][MAX_CITY_NUM];



//if city number less than 32, can use this simple method.(in vs2013,  more than 25 will cause an "array is too large" error)
int tsp1()
{
    int ret = INT_MAX;
    int d[MAX_CITY_NUM][1 << MAX_CITY_NUM];  //current city and past city

    for (int i = 0; i < MAX_CITY_NUM; i++)
        for (int j = 0; j < 1 << MAX_CITY_NUM; j++)
            d[i][j] = INT_MAX;

    //init every city to city0
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        d[i][1<<i] = cityMap[i][0];
    }
    
    for (int i = n-1; i >= 0; i--)    // the start city.
        for (int j = 1; j < n; j++)    //the end city.
            for (int k = 0; k < 1 << n; k++)
            {
                if (d[j][k&~(1 << i)] != INT_MAX && (k >> j & 1) && (k >> i & 1))
                {
                    //cout << d[i][k] << endl;
                    //cout << d[j][k&~(1 << i)] + cityMap[i][j] << endl;
                    d[i][k] = min(d[i][k], d[j][k&~(1 << i)] + cityMap[i][j]);
                    //if (d[i][k] < INT_MAX)
                        //cout << "d[" << i << "][" << k << "] = " << d[i][k] << endl;
                }
                    
            }

    ret = d[0][(1 << n) - 1];

    return ret;
}



int main()
{
    //init data.
    n = 4;
    memset(cityMap, 0, sizeof(cityMap));
    cityMap[0][1] = 3;
    cityMap[0][2] = 6;
    cityMap[0][3] = 7;
    cityMap[1][0] = 5;
    cityMap[1][2] = 2;
    cityMap[1][3] = 3;
    cityMap[2][0] = 6;
    cityMap[2][1] = 4;
    cityMap[2][3] = 2;
    cityMap[3][0] = 3;
    cityMap[3][1] = 7;
    cityMap[3][2] = 5;

    cout << tsp1() << endl;
}