年底了，在做各種總結，回顧一下2020年的收獲和不足。這一年開了博客，總結了逆向、滲透和網絡安全方面的技術和知識點，距離自己設定的目標又進了一步；總結的時候突然想到了一個經典的路徑規划問題：一個旅行者從A出發到F，中間有多條路線走，哪條路線是成本最低的了？ 這個和人生職業發展是不是類似了？小時候立志成為xxx，為了實現理想，可能要分多步走，怎么規划才能成本最低、效果最優了？PS: 路由器的OSPF路徑規划也用了這種算法！
1、下面是示意圖: 起點是A，終點是F，中間點是BCDE，每連個點之間都是通的，路徑的長度如圖所示，從A到F那條路才是最短的（注意：數字是隨機生成的，並不和看起來的長度成正比）？這就是業界著名的Dijkstra動態規划問題；
解決問題的核心思路：
- 既然要找到全局最短的路徑，那么必須找到每一步的最短路徑，所有步驟加起來才會是全局最短的；
- 從A出發，窮舉連接所有節點的距離，選出最短的節點，下一步從該節點繼續重復這一步，直到到達終點；
上面是理論思路，下面具體的步驟：
（1）從A出發，窮舉和A連接所有節點的距離。如果沒直連，距離用NA或無窮大表示，如下：
從A出發，到E的距離最短，此時鎖定E節點，將其作為跳板繼續尋找下一條最優的路線，具體的方法：E直連了D和F，距離分別是3和8，那么A如果以E為中繼節點，到D和F的距離就變成了7+3=10、7+8=15；如果A不以E為中繼節點，到D和F的距離分別是12和無窮大，很顯然通過E中繼比之前的距離更短，這里就更新路由表如下：
因為已經使用了E作為中繼，就不能再動，這里用黃色標記一下；同時把AD和AF截至目前的最短路徑（分別是AED、AEF）也標記一下；至此，已經找到了第一個最優的中繼節點E：通過該節點中繼能縮短現有其他路線的距離（這里縮短了A->D和A->F的距離）！
（2）跟新后的路由表如上：此時繼續選距離最短的點中繼。相比之下，AED距離10是最短的，所以從這里D開始中繼；和D直連的節點是C和F，如果以D為中繼節點，A到C和F的距離分別是10+5=15、10+6=16，和以前比，AC的距離沒變，AF的距離比之前的15還要多1，所以從D出發，並沒有縮短現有路由表的距離，此時忽略D節點中轉，路由表標時如下：
（3）繼續尋找下一個可能的最優中繼節點：先在只剩B和C了，相比之下AB距離14，那么臨時把B作為中繼節點；B只能到F，那么ABF就是14+5=19，還是比現有的AEF大，所以B節點繼續忽略；
（4）先在只剩C節點了: C能到B和F，ACB=21、ACF=25，和現在的AB、AF比並沒有降低，所以不用更新現有路由表；這一步后所有的中間節點都已經遍歷，從A到各個節點最優的路由也就定了，如下：
A到B、C不變，到D和F從E中轉！
2、和Dijkstra動態規划類似的另一個問題：TSP（traveling salesman problem），一個salesman要遍歷所有城市，但每座城市只能去一次，最后回到起點；城市之間互相都是通的，但來去的成本不同，要求遍歷所有城市的成本最低；抽象出來的問題描述如下：
A、B、C、D四座城市互相連通（雙向聯通），城市之間的travle成本如右邊矩陣所示；這個矩陣是非對稱矩陣，具體到業務上就是來回的成本不是一樣的。比如從A->B是16，但是從B->A是8；又比如C->D是9,但D->C是2；從那個城市出發，這個城市就從行查目的地的城市放在列！
不同於上面的Dijkstra路由規划，這里的TSP是雙向的，最核心的區別在於：TSP要求回到出發點，而Dijkstra不需要；前者要求回路閉環，后者要求單向無環！正是這種差異，導致了算法層面剛好相反：Dijkstra是從起點出發（剛開始不知道從哪跳轉，只能從起點開始選下一個中繼點），每次都找最近的節點作為中繼；TSP是知道“終點”，所以從所有能窮舉的“終點”出發，倒過來找成本最低的邊；
具體的過程如下：
（1）先窮舉（這就是這種算法復雜度高的原因之一：如果）出所有從A出發、最終能回到A的路線，如下：
（2）根據上面的那個遍歷矩陣，從底部的“終點”出發，計算出每個分支的遍歷成本，選擇成本最小的分支替代替另一個分支，比如：
- 最左邊的分支：BCDA和BDCA，這兩個分支只能留一個，就看那個分支的成本最低了；BCDA的成本是13+9+5=27，BDCA的成本是16+2+4=22，比前面的小，所以BCDA廢除，這里只保留BDCA；
- 同理：中間的C分支有CBDA和CDBA，成本分別是7+16+5=28和9+12+8=29，保留CBDA，廢除CDBA；
- 同理：最右邊的分支DBCA和DCBA，成本分別是12+13+4=29和2+7+8=17，保留DCBA；
- B、C、D三個分支中，B分支最短是22，是BDCA；C分支最短是28，是CBDA；D分支最短是17，是DCBA；
- AB=16，加上BDCA的22，最終是38；AC=11，加上CBDA的28，最終是39；AD=6，加上DCBA的17，最終是23；所以ADCBA是最優的路徑，成本是17，完勝！
（3）為了便於編碼實現，還需要進一步抽象整個過程，如下：
- g(i,s) = min{w(i,j)+g(j,{s-j})}， 其中i、j是圖中的點，s是去掉出發點后所有點的集合；w(i,j)表示圖中i、j兩個點之間的權重；s-j表示除去j后剩余點的集合；
（3.1）具體的計算表示：g(A,{B,C,D}) = min{w(A,B)+g(B,{C,D})}，其中w(A,B)是已知的，那么問題就轉發成了求g(B,{C,D}了；
g(B,{C,D} = min{g(B,C)+g(C,{D})} 或 = min{w(B,D)+g(D,{C})}，問題又轉換成了求g(C,{D})和g(D,{C})了，這兩個等價於w(C,D)和w(D,C);
（3.2）上面分解了g(A,{B,C,D}) = min{w(A,B)+g(B,{C,D})}，這只是其中一個分支，還需要用同樣的方法求另外兩個分支：g(A,{B,C,D}) = min{w(A,C)+g(C,{B,D})} 和g(A,{B,C,D}) = min{w(A,D)+g(D,{C,D})}
所有分支求出來后，找到最小的分支就是最終的結果！
這兩個算法非常經典，思路也很成熟了，github上的代碼有一堆，感興趣的小伙伴可以自行去找找嘗試嘗試！
注意：TSP解決的算法還有遺傳算法、模擬退火等，上述算法叫深度優先遍歷（俗稱“使蠻力”），只是眾多算法中的一種；
參考：
1、https://www.bilibili.com/video/BV1gz4y1S7jD?p=31 動態規划
2、https://www.油管.com/watch?v=hh-uFQ-MGfw Traveling Salesman Problem using Dynamic Programming | DAA （需要自備梯子；印度人講的，動態演示整個過程，通俗易懂；除了口音聽着憋屈，其他沒毛病！）