一、概述
Erasure Code 可以應用於分布式存儲系統中，替代多份數據拷貝的數據冗余方式，從而可以提高存儲空間利用率。此外， Erasure code 還可以應用於傳統 RAID系統中，增加數據冗余度，支持多塊盤同時發生故障，從而可以提高數據可靠性。
采用范德蒙矩陣可以構建 Erasure code （關於范德蒙矩陣的編解碼方法，可以參考文章《 基於范德蒙矩陣的 Erasure code 技術詳解 》），其生成矩陣表示如下：
采用范德蒙矩陣作為編碼矩陣的問題在於算法復雜度太高，其解碼算法復雜度為O （ n^3 ）。采用目前的處理器技術，還是會影響 IO 的性能，增加 IO 延遲。因此，找到一種更加合理的編碼矩陣，降低算法復雜度是 Erasure code 得以廣泛應用的一個前提條件。
二、基於柯西矩陣的編解碼過程
基於柯西矩陣的李德 - 所羅門（ RS ）碼是在范德蒙矩陣的 RS 碼基礎上作了兩點重要改進：
1， 用柯西矩陣來代替范德蒙矩陣。由於范德蒙矩陣求逆運算的復雜度為 O （n^3 ），而柯西矩陣求逆運算的復雜度僅為 O （ n^2 ）。因此，采用柯西矩陣可以降低解碼的運算復雜度。
2， 采用有限域二進制矩陣的方式來提高運算效率，直接將乘法轉換成 XOR 邏輯運算，大大降低了運算復雜度。
大家知道，柯西矩陣可以描述如下：
X （ i ）和 Y （ i ）都是迦羅華域 GF （ 2^w ）中的元素。柯西矩陣有兩個特點：第一，任意一個子方陣都是奇異矩陣，存在逆矩陣；第二，柯西矩陣在迦羅華域上的求逆運算，可以在 O （ n^2 ）的運算復雜度內完成。
采用柯西矩陣進行 Erasure code 編碼過程描述如下：
其運算過程和范德蒙矩陣編碼過程是一樣的，只不過采用柯西矩陣替換了范德蒙矩陣。從運算過程來看，編碼過程是迦羅華域的系列乘法、加法運算。
柯西解碼方程描述如下：
當任何一個數據元 d （ i ）遭到損壞時，需要通過解碼過程進行數據恢復。數據解碼過程可以分成如下幾大步驟：
1， 選取剩余有效的數據塊，構成一個解碼列向量。例如， d1 、 d3 數據塊損壞了，那么可以選取剩余數據 d0 、 d2 、 c0 、 c2 作為解碼列向量。
2， 摘取生成矩陣（柯西矩陣）中解碼列向量所對應的行，構成方陣 A ，該矩陣的逆矩陣就是解碼生成矩陣 inv(A) 。
3， 解碼生成矩陣 inv(A) 和解碼列向量的乘積就可以得到丟失的數據 d1 和 d3 。
從整個過程來看，矩陣求逆過程是最大的運算開銷。解碼過程和范德蒙矩陣編碼是一樣的，但是柯西矩陣的求逆運算復雜度要低於范德蒙矩陣，因此，具有更好的性能。
三、柯西編解碼過程優化
從編解碼過程來看，柯西編解碼最大的運算量是乘法和加法運算。在范德蒙編碼的時候，我們可以采用對數 / 反對數表的方法將乘法運算轉換成了加法運算，並且在迦羅華域中，加法運算轉換成了 XOR 運算。
柯西編解碼為了降低乘法復雜度，采用了有限域上的元素都可以使用二進制矩陣表示的原理，將乘法運算轉換成了迦羅華域“與運算”和“ XOR 邏輯運算”，提高了編解碼效率。
從數學的角度來看，在迦羅華有限域中，任何一個 GF （ 2^w ）域上的元素都可以映射到 GF （ 2 ）二進制域，並且采用一個二進制矩陣的方式表示 GF （ 2^w ）中的元素。例如， GF （ 2^3 ）域中的元素可以表示成 GF （ 2 ）域中的二進制矩陣：
圖中，黑色方塊表示邏輯 1 ，白色方塊表示邏輯 0 。通過這種轉換， GF （ 2^w）域中的陣列就可以轉換成 GF （ 2 ）域中的二進制陣列。生成矩陣的陣列轉換表示如下：
在 GF （ 2^w ）域中的生成矩陣為 K* （ K+m ），轉換到 GF （ 2 ）域中，變成了 (w*k) * (w*(k+m)) 二進制矩陣。采用域轉換的目的是簡化 GF （ 2^w ）域中的乘法運算。在 GF （ 2 ）域中，乘法運算變成了邏輯與運算，加法運算變成了 XOR運算，可以大大降低運算復雜度。和范德蒙編解碼中提到的對數 / 反對數方法相比，這種方法不需要構建對數 / 反對數表，可以支持 w 為很大的 GF 域空間。采用這種有限域轉換的方法之后，柯西編碼運算可以表示如下：
四、總結
可以說柯西編碼是在范德蒙編碼基礎之上的一種優化。其主要有兩點：第一降低了矩陣求逆的運算復雜度；第二通過有限域轉換，將 GF （ 2^w ）域中的元素轉換成二進制矩陣，簡化了乘法運算。所以，柯西編解碼要優於范德蒙矩陣的方法，柯西編碼的運算復雜度為 O （ n(n- m) ），解碼復雜度為 O （ n^2 ）。
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