[hihoCoder] 博弈游戲·Nim游戲

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描述

今天我們要認識一對新朋友，Alice與Bob。
Alice與Bob總是在進行各種各樣的比試，今天他們在玩一個取石子的游戲。
在這個游戲中，Alice和Bob放置了N堆不同的石子，編號1..N，第i堆中有A[i]個石子。
每一次行動，Alice和Bob可以選擇從一堆石子中取出任意數量的石子。至少取1顆，至多取出這一堆剩下的所有石子。
Alice和Bob輪流行動，取走最后一個石子的人獲得勝利。
假設每一輪游戲都是Alice先行動，請你判斷在給定的情況下，如果雙方都足夠聰明，誰會獲得勝利？

提示：Nim?!

輸入

第1行：1個整數N。表示石子堆數。1≤N≤100
第2行：N個整數，第i個整數表示第i堆石子的個數A[i]，1≤A[i]≤10000

輸出

第1行：1個字符串，若Alice能夠獲勝輸出"Alice"，否則輸出"Bob"

樣例輸入

3
3 2 1

樣例輸出

Bob

這一次我們講的是一個古老而又經典的博弈問題：Nim游戲。

Nim游戲是經典的公平組合游戲(ICG)，對於ICG游戲我們有如下定義：
1、兩名選手；
2、兩名選手輪流行動，每一次行動可以在有限合法操作集合中選擇一個；
3、游戲的任何一種可能的局面(position)，合法操作集合只取決於這個局面本身；局面的改變稱為“移動”(move)。
4、若輪到某位選手時，該選手的合法操作集合為空，則這名選手判負。

對於第三條，我們有更進一步的定義Position，我們將Position分為兩類：
P-position：在當前的局面下，先手必敗。
N-position：在當前的局面下，先手必勝。

他們有如下性質：
1.合法操作集合為空的局面是P-position；
2.可以移動到P-position的局面是N-position；
3.所有移動都只能到N-position的局面是P-position。

在這個游戲中，我們已經知道A[] = {0,0,...,0}的局面是P局面，那么我們可以通過反向枚舉來推導出所有的可能局面，總共的狀態數量為A[1]*A[2]*...*A[N]。並且每一次的狀態轉移很多。
雖然耗時巨大，但確實是一個可行方法。

當然，我們這里會講這個題目就說明肯定沒那么復雜。沒錯，對於這個游戲有一個非常神奇的結論：

對於一個局面，當且僅當A[1] xor A[2] xor ... xor A[N] = 0時，該局面為P局面。

對於這個結論的證明如下：
1. 全0狀態為P局面，即A[i]=0，則A[1] xor A[2] xor ... xor A[N] = 0。
2. 從任意一個A[1] xor A[2] xor ... xor A[N] = k != 0的狀態可以移動到A[1] xor A[2] xor ... xor A[N] = 0的狀態。由於xor計算的特殊性，我們知道一定有一個A[i]最高位與k最高位的1是相同的，那么必然有A[i] xor k < A[i]的，所以我們可以通過改變A[i]的值為A[i]'，使得A[1] xor A[2] xor ... xor A[i]' xor ... xor A[N] = 0。
3. 對於任意一個局面，若A[1] xor A[2] xor ... xor A[N] = 0，則不存在任何一個移動可以使得新的局面A[1] xor A[2] xor ... xor A[N] != 0。由於xor計算的特殊性，我們可以知道，一定是存在偶數個1時該位置的1才會被消除。若只改變一個A[i]，無論如何都會使得1的數量發生變化，從而導致A[1] xor A[2] xor ... xor A[N] != 0。
以上三條滿足ICG游戲中N,P局面的轉移性質，所以該結論的正確性也得到了證明。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, p, a;

int main() {
    while (cin >> n) {
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            cin >> a;
            if (i == 0) p = a;
            else p ^= a;
        }
        if (p == 0) cout << "Bob" << endl;
        else cout << "Alice" << endl;
    }
    return 0;
}