Floyd最小環

 

本文轉自這里

 

 

　　最小環：從一個點出發,經過一條簡單路徑回到起點成為環.圖的最小環就是所有環中長度最小的.

 

　　怎樣求最小環呢?

 

　　1傳統的解決方法(dijkstra):
        任意一個最小環環的權值，我們都可以看成兩個有邊相連的結點i、j的直接距離加上i、j間不包含邊(邊i->j)的最短路徑。求最短路徑我們第一個想到的就Dijkstra算法。而Dijkstra所求的是一個點到所有點的最短距離。用Dijkstra所求的i、j的最短距離一定是i、j的直接距離(如果i，j連通)，所以我們需要先將i、j的邊從圖中刪除(若i，j不連通，則不用刪除)，再用Dijkstra求新圖中i、j的最短距離即可。所以我們每次在圖中選取一條邊，把它從圖中刪掉．然后對刪掉的那條邊所對應的2點進行Dijkstra，也就是m次Dijkstra。

 

　　2.floyd求最小環:

 

        拋開Dijkstra算法，進而我們想到用Floyd算法。我們知道，Floyd算法在進行時會不斷更新矩陣dist(k)。設dist[k，i，j]表示從結點i到結點j且滿足所有中間結點，它們均屬於集合{1，2，⋯ ，k}的一條最短路徑的權。其中dist[0，i,j ]即為初始狀態i到j的直接距離。對於一個給定的賦權有向圖， 求出其中權值和最小的一個環。我們可以將任意一個環化成如下形式：u->k->v ->(x1-> x2-> ⋯ xm1)-> u(u與k、k與v都是直接相連的)，其中v ->(x1-> 2-> ⋯ m)-> u是指v到u不經過k的一種路徑。

 

        在u，k，v確定的情況下，要使環權值最小， 則要求 (x1一>x2->⋯一>xm)->u路徑權值最小．即要求其為v到u不經過k的最短路徑，則這個經過u，k，v的環的最短路徑就是：[v到u不包含k的最短距離]+dist[O，u，k]+dist[O，k，v]。我們用Floyd只能求出任意2點間滿足中間結點均屬於集合{1，2，⋯ ，k}的最短路徑，可是我們如何求出v到u不包含k的最短距離呢?
         現在我們給k加一個限制條件：k為當前環中的序號最大的節點(簡稱最大點)。因為k是最大點，所以當前環中沒有任何一個點≥k，即所有點都<k。因為v->(x1->x2->......xm)->u屬於當前環，所以x1，x2，⋯ ，xm<k，即x1，x2．⋯。xm≤k一1。這樣，v到u的最短距離就可以表示成dist[k一1 ,u,v]。dist[k一1,v,u]表示的是從v到u且滿足所有中間結點均屬於集合{1，2，⋯ ，k一1}的一條最短路徑的權。接下來，我們就可以求出v到u不包含k的最短距離了。這里只是要求不包含k，而上述方法用的是dist[k一1，v，u]，求出的路徑永遠不會包含k+l，k+2，⋯ 。萬一所求的最小環中包含k+1，k+2，⋯ 怎么辦呢?的確，如果最小環中包含比k大的節點，在當前u,k,v所求出的環顯然不是那個最小環。然而我們知道，這個最小環中必定有一個最大點kO，也就是說，雖然當前k沒有求出我們所需要的最小環，但是當我們從k做到kO的時候，這個環上的所有點都小於kO了．也就是說在k=kO時一定能求出這個最小環。我們用一個實例來說明：假設最小環為1—3—4—5—6—2—1。的確，在u=l，v=4，k=3時，k<6，dist[3，4，1]的確求出的不是4—5—6—2—1這個環，但是，當u=4，v=6，k=5或u=5，v=2，k=6時，dist[k，v，u]表示的都是這條最短路徑.所以我們在Floyd以后，只要枚舉u．v，k三個變量即可求出最小環。時間復雜度為O(n3)。我們可以發現，Floyd和最后枚舉u，v,k三個變量求最小環的過程都是u,v,k三個變量，所以我們可以將其合並。這樣，我們在k變量變化的同時，也就是進行Floyd算法的同時，尋找最大點為k的最小環。

 

POJ 1734　　

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define _Clr(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
#define INF 0xfffffff
#define N 110
using namespace std;

int mat[N][N], dist[N][N];
int next[N][N]; // next[i][j]表示ｉ到ｊ經歷的第一個點。
int path[N];
int cnt, n;

void Floyd()
{
    int mins=INF;
    for(int k=1; k<=n; k++)
    {
        for(int i=1; i<k; i++)
        for(int j=i+1; j<k; j++)
        {
            int tmp = dist[i][j]+mat[i][k]+mat[k][j];
            if(tmp < mins)// 更新最小環的權值
            {
                mins = tmp;
                cnt=0;
                int p = i;
                while(p!=j) // 記錄最小環的路徑
                {
                    path[cnt++] = p;
                    p = next[p][j];
                }
                path[cnt++] = j;
                path[cnt++] = k;
            }
        }
        for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            if(dist[i][k]+dist[k][j] < dist[i][j])
            {
                dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
                next[i][j] = next[i][k];
            }
        }
    }
    if(mins==INF)
        puts("No solution.");
    else
    {
        for(int i=0; i<cnt; i++)
            printf("%d%s", path[i], i==cnt-1 ? "\n":" ");
    }
}

void Init()
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
    for(int j=1; j<=n; j++)
    {
        mat[i][j] = dist[i][j] = INF;
        next[i][j] = j;
    }
}
int main()
{
    int m, a, b, c;
    while(~scanf("%d%d", &n, &m))
    {
        Init();
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            if(c < mat[a][b])
            {
                mat[a][b] = mat[b][a] = c;
                dist[a][b] = dist[b][a] = c;
            }
        }
        Floyd();
    }
    return 0;
}