「LOJ#10072」「一本通 3.2 例 1」Sightseeing Trip（無向圖最小環問題）（Floyd

題目描述

原題來自：CEOI 1999

給定一張無向圖，求圖中一個至少包含 $3$ 個點的環，環上的節點不重復，並且環上的邊的長度之和最小。該問題稱為無向圖的最小環問題。在本題中，你需要輸出最小環的方案，若最小環不唯一，輸出任意一個均可。若無解，輸出 No solution.。圖的節點數不超過 $100$。

輸入格式

第一行兩個正整數 $n,m$ 表示點數和邊數。
接下來 $m$ 行，每行三個正整數 $x,y,z$，表示節點 $x,y$ 之間有一條長度為 $z$ 的邊。

輸出格式

輸出一個最小環的方案：按環上順序輸出最小環上的點。若最小環不唯一，輸出任意一個均可。若無解，輸出 No solution.

 

樣例

樣例輸入

5 7
1 4 1
1 3 300
3 1 10
1 2 16
2 3 100
2 5 15
5 3 20

樣例輸出

1 3 5 2

題解

無向圖的最小環問題啊，不知道在多少場考試中間卡住了我的臨門一腳。——hzz

教材：http://www.cnblogs.com/Yz81128/archive/2012/08/15/2640940.html#undefined

這個最小環中，一定會有一個編號最大的點。

那么我們設$dp[i][j][k]$為在只經過$1$~$k$的點時，$i$，$j$的最短距離。

那么如果我們設最小環中最大的點為$k$，它兩邊有點$i$，$j$，

那么答案的最小值就是$dp[i][j][k-1]+g[j][k]+g[k][i]$。

//

然后我們聯想Floyd的過程，

$for$ $int$ $k=1$ $to$ $n$

    $for$ $int$ $i=1$ $to$ $n$

　　$for$ $int$ $j=1$ $to$ $n$

也就是說，在$k$時，$i$，$j$的最小值都只中轉了$1$~$k$的點。

這不就是我們要的$dp[i][j][k]$嘛？！

於是我們可以在Floyd的同時順便維護答案。

並且$dp$數組的$k$那一維還是可以省掉的。

//詳見代碼吧qwq

編號    題目    狀態    分數    總時間    內存    代碼 / 答案文件    提交者    提交時間
#239580    #10072. 「一本通 3.2 例 1」Sightseeing Trip Accepted    100    45 ms    380 KiB    C++ / 1.2 K    qwerta    2018-10-22 16:48:53

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long 
int g[103][103];//直接連邊的距離
int dis[103][103];//有中轉點的距離
int q[103];
int toq=0;
int zz[103][103];//zz[i][j]表示從i到j的最小路徑的中轉點
void getpath(int u,int v)
{
    if(!zz[u][v])return;
    getpath(u,zz[u][v]);//從u往中轉點找
    q[++toq]=zz[u][v];
    getpath(zz[u][v],v);
    return;
}
int main()
{
    //freopen("a.in","r",stdin);
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(g,127,sizeof(g));
    for(int i=1;i<=n;++i)
      g[i][i]=0;
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int x,y,l;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&l);
        g[x][y]=min(g[x][y],l);
        g[y][x]=g[x][y];
    }
    memcpy(dis,g,sizeof(g));
    long long ans=1e9+7;
    for(int k=1;k<=n;++k)
    {
        for(int i=1;i<k;++i)
        for(int j=i+1;j<k;++j)//因為k為環內最大點，所以只能循環到k-1
        {
            if(1LL*dis[i][j]+g[j][k]+g[k][i]<ans)
            {
                ans=dis[i][j]+g[j][k]+g[k][i];
                toq=0;
                q[++toq]=i;
                getpath(i,j);
                q[++toq]=j;
                q[++toq]=k;
            }
        }
        //然后是正常Floyd
        for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            if(1LL*dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j])
            {
                dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
                zz[i][j]=k;
            }
        }
    }
    if(!toq){cout<<"No solution.";return 0;}
    for(int i=1;i<=toq;++i)
      cout<<q[i]<<" ";
    return 0;
}