1 定義:
通常來說最小環是針對有向圖而言
從一個點出發,經過一條簡單路徑回到起點成為環.圖的最小環就是所有環中長度最小的.
2.怎樣求最小環呢?
1傳統的解決方法(dijkstra):
任意一個環的權值，我們都可以看成兩個有邊相連的結點i、j的直接距離加上i、j間不包含邊(邊i->j)的最短路徑。求最短路徑我們第一個想到的就是Dijkstra算法。而Dijkstra所求的是一個點到所有點的最短距離。用Dijkstra所求的i、j的最短距離一定是i、j的直接距離(如果i，j連通)，所以我們需要先將i、j的邊從圖中刪除(若i，j不連通，則不用刪除)，再用Dijkstra求新圖中i、j的最短距離即可。所以我們每次在圖中選取一條邊，把它從圖中刪掉．然后對刪掉的那條邊所對應的2點進行Dijkstra，也就是m次Dijkstra。
2.floyd求最小環:
拋開Dijkstra算法，進而我們想到用Floyd算法。我們知道，Floyd算法在進行時會不斷更新矩陣dist(k)。設dist[k，i，j]表示從結點i到結點j且滿足所有中間結點，它們均屬於集合{1，2，⋯ ，k}的一條最短路徑的權。其中dist[0，i,j ]即為初始狀態i到j的直接距離。對於一個給定的賦權有向圖， 求出其中權值和最小的一個環。我們可以將任意一個環化成如下形式：u->k->v ->(x1-> x2-> ⋯ xm1)-> u(u與k、k與v都是直接相連的)，其中v ->(x1-> 2-> ⋯ m)-> u是指v到u不經過k的一種路徑。
在u，k，v確定的情況下，要使環權值最小， 則要求 (x1一>x2->⋯一>xm)->u路徑權值最小．即要求其為v到u不經過k的最短路徑，則這個經過u，k，v的環的最短路徑就是：[v到u不包含k的最短距離]+dist[O，u，k]+dist[O，k，v]。我們用Floyd只能求出任意2點間滿足中間結點均屬於集合{1，2，⋯ ，k}的最短路徑，可是我們如何求出v到u不包含k的最短距離呢?
現在我們給k加一個限制條件：k為當前環中的序號最大的節點(簡稱最大點)。因為k是最大點，所以當前環中沒有任何一個點≥k，即所有點都<k。因為v->(x1->x2->......xm)->u屬於當前環，所以x1，x2，⋯ ，xm<k，即x1，x2．⋯。xm≤k一1。這樣，v到u的最短距離就可以表示成dist[k一1 ,u,v]。dist[k一1,v,u]表示的是從v到u且滿足所有中間結點均屬於集合{1，2，⋯ ，k一1}的一條最短路徑的權。接下來，我們就可以求出v到u不包含k的最短距離了。這里只是要求不包含k，而上述方法用的是dist[k一1，v，u]，求出的路徑永遠不會包含k+l，k+2，⋯ 。萬一所求的最小環中包含k+1，k+2，⋯ 怎么辦呢?的確，如果最小環中包含比k大的節點，在當前u,k,v所求出的環顯然不是那個最小環。然而我們知道，這個最小環中必定有一個最大點kO，也就是說，雖然當前k沒有求出我們所需要的最小環，但是當我們從k做到kO的時候，這個環上的所有點都小於kO了．也就是說在k=kO時一定能求出這個最小環。我們用一個實例來說明：假設最小環為1—3—4—5—6—2—1。的確，在u=l，v=4，k=3時，k<6，dist[3，4，1]的確求出的不是4—5—6—2—1這個環，但是，當u=4，v=6，k=5或u=5，v=2，k=6時，dist[k，v，u]表示的都是這條最短路徑.所以我們在Floyd以后，只要枚舉u．v，k三個變量即可求出最小環。時間復雜度為O(n3)。我們可以發現，Floyd和最后枚舉u，v,k三個變量求最小環的過程都是u,v,k三個變量，所以我們可以將其合並。這樣，我們在k變量變化的同時，也就是進行Floyd算法的同時，尋找最大點為k的最小環。
3.模板
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=105;
const int INF=10000000;
int dist[MAXN][MAXN],g[MAXN][MAXN];
int fa[MAXN][MAXN],path[MAXN];
int n,m,num,minc;
void Floyd()
{
int i,j,k,p,tmp;
minc=INF;
for(k=1;k<=n;k++)
{
for(i=1;i<k;i++)
for(j=i+1;j<k;j++)
{
tmp=dist[i][j]+g[i][k]+g[k][j];
if(tmp<minc) //找到更優解
{
minc=tmp;
num=0;
p=j;
while(p!=i) //逆向尋找前驅結點直到找到最前面的i,i->…->j
{
path[num++]=p;
p=fa[i][p];//fa[i][j]保存的不是k,而是fa[k][j].
}
path[num++]=i;
path[num++]=k;
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
tmp=dist[i][k]+dist[k][j];
if(dist[i][j]>tmp)
{
dist[i][j]=tmp;
fa[i][j]=fa[k][j];
}
}
}
}
int main()
{
int i,j,u,v,w;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
g[i][j]=INF;
dist[i][j]=INF;
fa[i][j]=i;
}
while(m--)
{
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
w=min(g[u][v],w); //處理重邊
g[u][v]=g[v][u]=dist[u][v]=dist[v][u]=w;
}
Floyd();
if(minc==INF)
printf("No solution.\n");
else
{
printf("%d",path[0]);
for(i=1;i<num;i++)
printf(" %d",path[i]);
printf("\n");
}
}
system("pause");
return 0;
}
