[LeetCode] 52. N-Queens II N皇后問題之二

 

The n-queens puzzle is the problem of placing nqueens on an n×n chessboard such that no two queens attack each other.

Given an integer n, return the number of distinct solutions to the n-queens puzzle.

Example:

Input: 4
Output: 2
Explanation: There are two distinct solutions to the 4-queens puzzle as shown below.
[
 [".Q..",  // Solution 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // Solution 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]

 

這道題是之前那道 N-Queens 的延伸，說是延伸其實我覺得兩者順序應該顛倒一樣，上一道題比這道題還要稍稍復雜一些，兩者本質上沒有啥區別，都是要用回溯法 Backtracking 來解，如果理解了之前那道題的思路，此題只要做很小的改動即可，不再需要求出具體的皇后的擺法，只需要每次生成一種解法時，計數器加一即可，代碼如下：

 

解法一：

class Solution {
public:
    int totalNQueens(int n) {
        int res = 0;
        vector<int> pos(n, -1);
        helper(pos, 0, res);
        return res;
    }
    void helper(vector<int>& pos, int row, int& res) {
        int n = pos.size();
        if (row == n) ++res;
        for (int col = 0; col < n; ++col) {
            if (isValid(pos, row, col)) {
                pos[row] = col;
                helper(pos, row + 1, res);
                pos[row] = -1;
            }
        }
    }
    bool isValid(vector<int>& pos, int row, int col) {
        for (int i = 0; i < row; ++i) {
            if (col == pos[i] || abs(row - i) == abs(col - pos[i])) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
};

 

但是其實我們並不需要知道每一行皇后的具體位置，而只需要知道會不會產生沖突即可。對於每行要新加的位置，需要看跟之前的列，對角線，及逆對角線之間是否有沖突，所以我們需要三個布爾型數組，分別來記錄之前的列 cols，對角線 diag，及逆對角線 anti_diag 上的位置，其中 cols 初始化大小為n，diag 和 anti_diag 均為 2n。列比較簡單，是哪列就直接去 cols 中查找，而對角線的話，需要處理一下，如果我們仔細觀察數組位置坐標的話，可以發現所有同一條主對角線的數，其縱坐標減去橫坐標再加n，一定是相等的。同理，同一條逆對角線上的數字，其橫縱坐標之和一定是相等的，根據這個，就可以快速判斷主逆對角線上是否有沖突。任意一個有沖突的話，直接跳過當前位置，否則對於新位置，三個數組中對應位置都賦值為 true，然后對下一行調用遞歸，遞歸返回后記得還要還原狀態，參見代碼如下：

 

解法二：

class Solution {
public:
    int totalNQueens(int n) {
        int res = 0;
        vector<bool> cols(n), diag(2 * n), anti_diag(2 * n);
        helper(n, 0, cols, diag, anti_diag, res);
        return res;
    }
    void helper(int n, int row, vector<bool>& cols, vector<bool>& diag, vector<bool>& anti_diag, int& res) {
        if (row == n) ++res;
        for (int col = 0; col < n; ++col) {
            int idx1 = col - row + n, idx2 = col + row;
            if (cols[col] || diag[idx1] || anti_diag[idx2]) continue;
            cols[col] = diag[idx1] = anti_diag[idx2] = true;
            helper(n, row + 1, cols, diag, anti_diag, res);
            cols[col] = diag[idx1] = anti_diag[idx2] = false;
        }
    }
};

 

Github 同步地址：

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/52

 

類似題目：

N-Queens 

 

參考資料：

https://leetcode.com/problems/n-queens-ii/

https://leetcode.com/problems/n-queens-ii/discuss/20058/Accepted-Java-Solution

https://leetcode.com/problems/n-queens-ii/discuss/20048/Easiest-Java-Solution-(1ms-98.22)

 

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