[LeetCode] 62. Unique Paths 不同的路徑

 

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 7 x 3 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

Example 1:

Input: m = 3, n = 2
Output: 3
Explanation:
From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:
1. Right -> Right -> Down
2. Right -> Down -> Right
3. Down -> Right -> Right

Example 2:

Input: m = 7, n = 3
Output: 28

 

這道題讓求所有不同的路徑的個數，一開始還真把博主難住了，因為之前好像沒有遇到過這類的問題，所以感覺好像有種無從下手的感覺。在網上找攻略之后才恍然大悟，原來這跟之前那道 Climbing Stairs 很類似，那道題是說可以每次能爬一格或兩格，問到達頂部的所有不同爬法的個數。而這道題是每次可以向下走或者向右走，求到達最右下角的所有不同走法的個數。那么跟爬梯子問題一樣，需要用動態規划 Dynamic Programming 來解，可以維護一個二維數組 dp，其中 dp[i][j] 表示到當前位置不同的走法的個數，然后可以得到狀態轉移方程為:  dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，這里為了節省空間，使用一維數組 dp，一行一行的刷新也可以，代碼如下：

 

解法一：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<int> dp(n, 1);
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                dp[j] += dp[j - 1]; 
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
};

 

這道題其實還有另一種很數學的解法，參見網友 Code Ganker 的博客，實際相當於機器人總共走了 m + n - 2步，其中 m - 1 步向右走，n - 1 步向下走，那么總共不同的方法個數就相當於在步數里面 m - 1 和 n - 1 中較小的那個數的取法，實際上是一道組合數的問題，寫出代碼如下:

 

解法二：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        double num = 1, denom = 1;
        int small = m > n ? n : m;
        for (int i = 1; i <= small - 1; ++i) {
            num *= m + n - 1 - i;
            denom *= i;
        }
        return (int)(num / denom);
    }
};

 

Github 同步地址：

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/62

 

類似題目：

Unique Paths II

Minimum Path Sum

Dungeon Game

 

參考資料：

https://leetcode.com/problems/unique-paths/

https://leetcode.com/problems/unique-paths/discuss/22981/My-AC-solution-using-formula

https://leetcode.com/problems/unique-paths/discuss/22954/0ms-5-lines-DP-Solution-in-C%2B%2B-with-Explanations

 

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