判斷多邊形邊界曲線順/逆時針 兩種方法

方法一：Green公式

 

Green公式揭示了平面區域的二重積分和封閉曲線上的線積分的關系。

其中L＋表示沿着封閉區域的邊界曲線正向。 

並且由Green公式的推導過程我們知道：

 

這里若L=-y,可以保證(1)式子在區域中恆正，且等於封閉區域面積。

同理，M=x,也可以保證(2)式子在區域中恆正，且等於封閉區域面積。

所以我們只需沿着多邊形的邊求曲線積分,若積分為正,則是沿着邊界曲線正方向(逆時針),反之為順時針,且所得絕對值為多邊形面積。

NOTE：邊界曲線的正向即沿着邊界曲線，單連通區域總在邊界曲線的左邊。（這里邊界曲線正向，即我們所看到的逆時針方向）

 

這里假設我們程序中的多邊形點為(x₀,y₀), (x₁,y₁), (x₂,y₂), . . . (x_n-1,y_n-1)

我們來計算沿着點(x₀,y₀), (x₁,y₁), (x₂,y₂), . . . (x_n-1,y_n-1)的曲線積分。

其中對於每段分割線段，y取( yn + yn+1)  / 2 , dx=xn+1 - xn   

d=0;
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
    d+= －0.5*(y[i+1]+y[i])*(x[i+1]-x[i]);
}
if(d>0)
    std::cout<<"counter clockwise"<<std::endl;
else
    std::cout<<"clockwise"<<std::endl;

 

方法二：端點判斷

這個方法比較簡單，遍歷所有點，找到x最大的點Pm（該點一定在最右端曲線的“凸起”部分上），然后取該點前后各一個點Pm-1、Pm+1，組成向量(Pm-1,Pm)、(Pm,Pm+1)。然后進行向量叉乘即可判斷出順時針或逆時針。

如圖，規定向量叉乘使用“右手定則”

＋表示該點Pm和前后兩個點組成的兩個向量(Pm-1,Pm)、(Pm,Pm+1),叉乘得到的向量指向z軸負方向；

－表示(Pm-1,Pm)x(Pm,Pm+1)得到的向量指向z軸方向。

NOTE：這里必須進行遍歷尋找凸點，否則若多邊形含有凹的部分，並且選取的點於凹部分中，會得到相反的結果。