有趣的概率算法--生日悖論

在算法導論書上看到個比較有意思的概率算法，在這里加上自己的理解分享下：

上次剛看同學發的朋友圈說道：“兩個人同一間宿舍，而且同年同月同日生，這個緣分真的是醉了”，當時我也是醉醉的，看了這個算法后才發現，屋里有23個人，那么就可以50%的概率生日是一樣的。

   是這樣子證明的：

   首先，假設屋子里有K個人，分別對他們編號1,2,3….k號。不考慮閏年的情況，那么一年就有n=365天，首先還是要假設生日是均勻分布在一年的n天中（喜歡在春天生就都在春天生這就不均勻了），然后還要假設兩個人生日相互獨立（什么雙胞胎那些還用得着算么），

那么兩個人同一天（具體的一天）生日的概率就1/n² (生日的概率是1/n,兩個人同一天生日當然就相乘了~)，那么兩個人同一天生日（365天隨便一天）的概率就是1/n (n個1/n²相加)

   也就是說假如屋里面有兩個人，那么他們同一天生日的概率是1/365,那現在要解決的問題是，屋里要有多少人，才能使這個概率上升到1/2 ?

   用事件的對立面來求，假設事件P={屋里至少兩個人生日一樣}，Q={屋里每個人生日都不一樣}，那么P=1-Q

   那么知道Q的概率就能知道P的概率了，設B_K為前K個人的生日都有一樣，A_i為前第i個人與前i-1一個人的生日都不一樣，那么就可以得到遞推式子

B_k=B_k-1^A_k

它的等價形式為

P{B_k}=P{B_k-1}P{ A_k | B_k-1}

應用遞歸式可以得到P{B_k}=P{B₁} P{ A₂ | B₁} P{ A₃ | B₂}… P{ A_k-1 | B_k-2} P{ A_k | B_k-1}

                       =1*(n-1/n) (n-2/n)… (n-k+1/n)(B₁是規定為1的，然后P{ A₂ | B₁}就是365中有一天已經給B₁用了，那么就剩下n-1天了，所以概率為(n-1/n))

                   P{B_k}=1*(1-1/n) (1-2/n)… (1-k-1/n)

然后已知 1+x<=e^x(兩個都是單調增函數，取0時為相等，過了就e^x 大了，高中學的嘿嘿)

那么有1*( ) ( )… ( )<=(e^-1/n)(e^-2/n)…(e^-(k-1/n))= (e^-k(k-1)/2n))<=1/2

求得當n=365時，必有k>=23,所以結論是至少有23個人在一間屋子里，那么至少有兩個人生日相同的概率至少是1/2。