算法課作業之刪數問題

問題描述：

通過鍵盤輸入一個高精度的正整數n(n的有效位數≤240)，去掉其中任意s個數字后，剩下的數字按原左右次序將組成一個新的正整數。編程對給定的n和s，尋找一種方案，使得剩下的數字組成的新數最小。

 

問題分析：

這個問題是最優子結構問題，即局部最優能決定全局最優解，可以使用貪心算法進行解決。n個正整數去掉s個數字，求使得到的新的正整數最大的刪除方案可以等價為：對於n個正整數組成的數字，一個一個地依次去掉s個數字，要求每刪除一個數時，都使刪除后的新的正整數最小。因此問題轉化為求解刪除一個數字時是新的數字最小的方案，求得這個方案后只需要對其執行s次即可。

因為刪數后剩下的數字原左右次序不變，所以要盡可能在左邊刪除，我們從左往右進行考慮，假設n個整數為a(1),a(2)....a(n),當由左往右第一次出現a(k)>a(k+1),可以發現，①刪除任何一個a(k)之前的元素得到的新數都比刪除a(k)得到的新數大，所以可以明確a(k)之前的元素可以排除；②倘若刪除a(k)，則新的數字第k位變成a(k+1)，記這個新的數字為c，倘若刪除a(k)之后的任何一位，得到的新的數字第k位仍然是a(k),記這個新的數字為d。比較c和d，可以發現，c(1)=d(1),......,c(k-1)=d(k-1),因為a(k)>a(k+1)，所以c(k)<d(k)，那么有c<d。綜上可知，對於數字a，應該刪除由左往右第一次出現a(k)>a(k+1)時的a(k),如果a的數字序列一直是非減的，那么刪除最后一位即可。

本算法的完整C++代碼如下：

#include "stdafx.h"
#include "vector"
#include "cmath"
#include "iostream"

using namespace std;

int digit_to_int(char d)//將char數組中的元素轉換為整數以便於進行比較
{
    char str[2];

    str[0] = d;
    str[1] = '/0';
    return (int)strtol(str, NULL, 10);
}


void DeleteOneBit(char * a,int _size){//每次只刪除一位的函數
    int i = 0;
    bool _is = false;//用於判斷是否需要將部分右邊的元素左移一位
    while (i < _size - 1){
        if (digit_to_int(a[i])>digit_to_int(a[i+1])){
            _is = true;
            break;}
        i++;
    }
    if (_is){
        for (; i < _size - 1;i++)
        {
            a[i] = a[i + 1];
        }
    }
    a[_size - 1] = '\0';//寫終止符   
}

void GetNewNum(char* b,int _num_d){
    int _lenght = strlen(b);
    if (_num_d>=_lenght){
        cout << "刪除的位數過多" << endl;
        return;}
    for (int i = 0; i < _num_d;i++){
        DeleteOneBit(b, _lenght);
        _lenght--;
    }
    
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    cout << "請輸入要進行刪數的正整數（小於240位）"<<endl;
    char a[241];
    cin >> a;
    int _num_d;
    cout << "請輸入要刪除的位數（小於輸入的整數的位數）" << endl;
    cin >> _num_d;
    GetNewNum(a, _num_d);
    cout << a;
    system("pause");
    return 0;
}