1. 公理系統
先來看看康托爾對集合的定義：“一個集合是我們知覺中或理智中的、確定的、互不相同的事物的一個匯集，被設想為一個整體”。盡管康托爾本人已經建立起了相當廣泛而深刻的集合理論，但對於集合本身的定義卻還是含糊的，他的理論被稱為“朴素集合論”（Native Set Theory）。雖然試圖描述集合的每個屬性，但其中“匯集”、“整體”等詞其實是和“集合”等價的。定義的含糊使得各種悖論趁虛而入，這也成為反對者們的主要攻擊目標。之后，策梅洛（Zermelo）為集合建立了一套公理化系統，並由弗蘭克爾（Fraenkel）進行了擴充和修正，被稱為ZF公理系統，包含選擇公理（見下文）的ZF系統簡稱為ZFC系統。ZFC系統對集合的限制比較嚴格，后來由馮·諾伊曼（von Neumann）、哥德爾（Gödel）等人建立的GB公理系統則寬松很多，但這里僅介紹ZFC系統。
Zermelo（1871 - 1953） von Neumann（1903 - 1957） Gödel（1906 - 1978）
1.1 有限集
公理化系統中對原始概念不作定義，而只給出一些限定條件和定義，並在此基礎上進行推理。同樣，公理集合論中對集合不作定義，它是我們討論的唯一對象。另外，集合間有未定義的基本關系：\(A\in B\)，可以說成\(A\)是\(B\)的元素（member），或\(B\)包含\(A\)。任何概念都首先有一個基本關系“等於”，ZFC系統的第一個公理就對“等於”作了定義，該公理其實可以看作是“等於”和“屬於”的互相定義和描述。需要說明的是，雖然以下的結論都只有啟發性的描述，嚴格的證明都是要從公理或定理推出的。
【ZFC-1】外延公理（Atom of Extensionality）：如果對任意\(x\)，\(x\in A\)當且僅當\(x\in B\)，則\(A=B\)。
\[\forall A\forall B(\forall x(x\in A\Leftrightarrow x\in B)\Rightarrow A=B)\]
鑒於語言不方便也不精確，公理系統采用了一階謂詞邏輯的語言。使用\(A\in B\)和\(A=B\)作為原子公式，加上邏輯操作符\(\neg\)、\(\wedge\)、\(\vee\)、\(\Rightarrow\)、\(\Leftrightarrow\)、\(\forall\)、\(\exists\)可以組成復雜的公式，原子公式的否定可以簡寫為\(A\notin B\)和\(A\ne B\)。如果\(C(x)\)是一個含有\(x\)的公式，且\(x\)不受\(\forall\)、\(\exists\)限制，則\(C(x)\)稱為\(x\)的一個條件。
ZFC系統共10條公理，除去外延公理，其它9條都是對集合的限定，后續討論的集合必須可以由這些公理構造。公理將集合限定在可控制的范圍內，消除了悖論的產生，下面我們就從零開始，構建集合的大廈。
【ZFC-2】 空集公理（Atom of Empty Set）：存在不含任何元素的集合。
\[\exists A\forall x(x\notin A)\]
空集公理承認不包含任何元素的集合是存在的，這樣就避免了追究元素到底是什么。更重要的是，空集公理承認了至少有一個集合存在，有了這塊磚，集合的大廈就有了基礎。當然，根據外延公理，空集都是相等的，即空集是唯一的（這樣的推論以后不再贅述），一般記作\(\varnothing\)。
有了一個集合，接下來可以構造包含1個元素、2個元素...的集合。它們的數量非常龐大，如何用盡量少的公理去構造它們？我們直接來看看ZFC系統是如何解決的：
【ZFC-3】偶集公理（Atom of Pairing）：對任何集合\(a\)、\(b\)，都存在僅包含它們的集合\(A\)。
\[\forall a\forall b\exists A\forall x(x\in A\Leftrightarrow x=a\vee x=b)\]
【ZFC-4】並集公理（Atom of Union）：對任意集合\(M\)，存在集合\(A\)，它的任何元素屬於\(M\)的某個元素。
\[\forall M\exists A\forall x(x\in A\Leftrightarrow\exists X(X\in M\wedge x\in X))\]
偶集公理開始對集合進行打包，構造更上層的集合，選擇兩個集合是因為1是無法擴展的，而且\(a=b\)時也有\(M=\{a\}\)。並集公理將打好的多個包合並為一個包，它用操作符\(\cup (M)\)表示，也可以對元素直接操作，比如\(\cup\{a,b\}=a\cup b\)。借助偶集公理它可以繼續擴展集合元素的數量，比如\(\{a,b,c\}=\cup\{\{a,b\},\{c\}\}\)。另外要注意，並集公理並不限於兩個集合的並，這為無窮集提供了很好的工具。
有了這3個公理，任何有限集都可在有限步內構造完成，有限的世界已經沒有什么秘密了。如果再加上交（\(\cup\)，intersection）、並（\(\cap\)，union）、差（\(-\)）的運算和子集（\(\subseteq\)）、真子集（\(\subset\)）的概念，就和我們高中學習的集合沒什么兩樣了。當然還有這么一個妖艷的計算並集的公式：容斥原理，它在概率論和組合學中經常出現，覺得公式復雜的畫個文氏圖就一目了然了。
\[\left| {\bigcup\limits_{i=1}^n{{A_i}}}\right| =\sum\limits_{k=1}^n{{{(-1)}^{k-1}}\sum\limits_{1\le{i_1}<\cdots<{i_k}\le n}{\left| {{A_{{i_1}}}\cap\ldots\cap{A_{{i_k}}}}\right| }}\]
在向無窮集進發之前，我們需要休整一下，再了解幾個今后有用的公理和概念。
【ZFC-5】冪集公理（Atom of Power Set）：集合\(A\)的一切子集組成集合。
\[\forall A\exists P\forall X(X\in P\Leftrightarrow X\subseteq A)\]
【ZFC-6】子集公理（Atom Schema of Separation）：存在滿足給定條件的子集。
\[\forall B\exists A\forall x(x\in A\Leftrightarrow x\in B\wedge C(x))\]
冪集構建了一個很大的上層集合，為子集公理提供了非常好的限制集，\(A\)的冪集一般記作\(\mathscr{P}(A)\)。子集公理說明：滿足一定條件集合，只有被限定在某個集合中時，才能組成集合。這使得集合不能是過於龐大的匯合，從而消除了各種悖論。考慮以下“集合”（很容易導出矛盾）：（1）一切不屬於自己的集合（羅素悖論，Russell's Paradox）；（2）包含所有集合的集合。對於限制集比較明顯的場合，也可以用\(\{x|C(x)\}\)來表示子集。
Russell（1872 - 1970） Peano（1858 - 1932） Dedekind（1831 - 1916）
1.2 關系
數學處理的對象除了數之外，更多的是關系，而關系一般由有序對組成。集合中的元素是沒有順序的，需要為有序對（ordered pairs）建立模型。集合論中比較通用的有序對定義是：\((a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}\)，你可以嘗試證明其合理性。笛卡爾積\(A\times B\)定義為如下，它的限制集為\(\mathscr{P}(A\cup B)\)。只包含有序對的集合叫關系，\(xRy\)表示\((x,y)\)在關系\(R\)中，關系\(R\)所有元素的第一個元素組成定義域\({\rm dom}(R)\)，所有元素的第二個元素組成值域\({\rm ran}(R)\)，它們都是集合。
\[A\times B=\{(a,b)|a\in A\wedge b\in B\}\]
關系的逆和復合已是我們熟悉的概念，它們分別記作\(R^{-1}\)和\(R\circ S\)。對於關系\(F\)值域內的每個\(x\)，若滿足\(xFy\)的\(y\)唯一，則\(F\)叫函數（function），且寫作\(F:X\to Y\)，\(X\)上的二元運算則可以寫做\(F:X\times X\to X\)，\(X\)到\(Y\)的一切函數組成的集合記作\(Y^X\)，\(F\restriction A =\{(x,y) \in F|x\in A\}\)稱為\(F\)的限制（restriction）。另外還有大家熟悉的單射、滿射、雙射（一一映射，one-to-one injection）、象和原象的概念就不贅述了。
2.自然數
集合是數學的語言，而數學首先是研究數的，所以必須用集合為數下個定義。人們最初認識的是自然數（natural number），它有着非常簡單的性質：“以0為起點，以1為步長依次排列”，所有自然數的運算都可以建立在這個簡單的模型上。所以定義自然數不是一件難事，著名的皮亞諾公理系統（Peano）就為自然數建立了一個很好的模型，不過這里我們只介紹馮·諾伊曼用集合為自然數下的定義。
首先用\(\varnothing\)定義\(0\)、用\(\{\varnothing\}\)定義\(1\)是沒有什么疑義的，那么\(2\)呢？用\(\{\{\varnothing\}\}\)？需要強調的是，自然數有兩個本質屬性：一個是數量，一個是順序，所以\(2\)里既要體現它的大小，又要體現它與\(0\)、\(1\)的關系。馮·諾伊曼給出了如下巧妙的定義：
\[0=\varnothing,\quad n+1=\{0,1,\cdots,n\}\]
當然，我們需要用集合的語言重新描述一下，定義\(a^+=a\cup\{a\}\)為\(a\)的后繼者（successor），任何自然數都是從\(\varnothing\)開始的某個后繼者。仔細品味這個定義，它很好地滿足了量和序的雙重要求。對於一個包含有\(\varnothing\)的集合\(A\)，如果它的任意元素的后繼者還是在\(A\)中，\(A\)被稱為歸納集（inductive set），但從目前的6條公理我們還不能構造出這樣的“集合”，它需要單獨的一條公理來保證。
【ZFC-7】無窮公理（Atom of Infinity）：至少存在一個歸納集。
\[\exists A(\varnothing\in A\wedge (\forall a(a\in A\Rightarrow a^+\in A)))\]
歸納集是我們構造的第一個無窮集，但要注意一個歸納集中可能含有自然數之外的的其它元素，需要剔除它們才能得到純正的自然數集。當然，有了一個歸納集作為限制集，加上用子集公理可以這樣定義自然數集：\(\omega =\{n|n\in any\,inductive\,set\}\)，容易證明\(\omega\)也是歸納集，並且其中只有自然數。顯然，\(\omega\)是最小的歸納集，如果它的某個子集\(A\)是歸納集，則有\(A=\omega\)，這就是著名的歸納原理（Induction Principle），它是我們熟悉的數學歸納法的理論依據，經常被用來證明某個性質對所有自然數都成立。
接下來需要驗證這樣的自然數集是否合理，看看它與我們直觀上認識的自然數集是否兼容。直觀上的自然數集表現為一個有序序列，每兩個自然數\(m\)、\(n\)都可以進行比較，即\(m=n\)、\(m<n\)和\(m>n\)中有且僅有一個成立（三歧性）。用集合定義的自然數有兩個等價的關系\(A\in B\)和\(A\subset B\)，反復運用歸納原理不難證明它們也有三歧性，所以可作為\(A<B\)的定義。自然數序列有開頭而沒有結尾，這個簡單的性質使之區別於其它數集，而且也是后面擴展為超限數的基礎。這個性質一般表現為“最小數定理”：任何自然數的集合都有最小數。證明思路是構造一個下限集，並選取其中的最大者，即是我們要找的最小數。這樣看來，自然數加上\(A<B\)的定義，完全是和直觀的自然數集相兼容的。
類似於自然數的定義，有一種常見的遞歸序列\(u_{n^+}=f(u_n)\)，序列的后一項依賴於前一項，這樣的序列能否成為集合？直覺上看它和自然數集本質上是相同的，只要證明存在一個從自然數集到該序列的函數即可，這就是“遞推原理”（Recursive Theorem）。雖然這個函數有明顯的限制集，但由於是遞歸定義的，無法用有限的條件來描述它，所以簡單地用子集公理是不行的。證明方法和自然數集的定義是類似的，即找尋滿足條件的關系中最小那個（所有關系的交集），繼而只要用歸納原理證明它滿足遞歸條件且是函數即可。
有了遞推原理，就可以按如下遞歸的方法定義自然數上的運算，容易證明它們都是\(F:\omega\times\omega\to\omega\)上的函數。至於這些運算的各種性質（交換律、分配律之類）也不難推導，就不再贅述了。
（1）\(m+0=m,\quad m+n^+=(m+n)^+\)；
（2）\(m\cdot 0=0,\quad m\cdot n^+=m\cdot n+m\)；
（3）\(m^0=1,\quad m^{n^+}=m^n \cdot m\)。
歸納原理和遞推原理都依賴於“前序數”，而自然數則更強調“后序者”，如果想擴展這兩個原理，需要擺脫對“前序數”的依賴。一個簡單而有效的做法就是依賴所有“前序數”，如同最小數定理的證明一樣，我們可以關注它們的“后序者”（學完超限數，這些就更明白了）。由此可以得到更具一般性的第二歸納原理和第二遞推原理：
第二歸納原理：自然數集合\(A\)如果滿足\(\forall x(x<n\Rightarrow x\in A) \Rightarrow n\in A\)，那么\(A=\omega\)。
第二遞推原理：存在滿足遞歸定義\(u_n=f(u\restriction n)\)的函數。
至此，自然數已經被很好的定義和研究了，你甚至可以自己很輕松地定義整數（integer number）和有理數（rational number），它們都可以由自然數擴展得來。但實數（real number）的定義似乎並不是那么顯然，而實數卻又是那樣的真實和重要，必須有一個好的模型才能使微積分有個堅實的基礎，這就回到了集合論創立的初衷。歷史上有兩個優秀的實數模型，一個來自康托爾的戰友戴德金（Dedekind），一個來自康托爾本人。戴德金分割（Dedekind cut）將一個實數定義為有理數集的一個分割，這個簡單而有效的定義非常適合於實數運算。康托爾則用無窮有理數列定義實數，本質是將實數定義為實無窮。關於數系的內容，我打算另開專題，這里就不展開講了。