題記：
最近剛研究了動態規划，感覺確實是算法思想中比較晦澀深奧的一種，解法2就是用動態規划，一般都是用數組記錄嘗試過的解法結果，為后續的解法提供剪枝。對於這道題目，解法1,解法3的思路比較簡單易懂。
解法1：用兩個for循環找出所有子串，第三個for循環用於判斷該子串是否為回文，是回文則且比已找到的回文串長就替換，算法時間效率為O(n^3)
解法3：用for循環遍歷字符串的每一個字符，每找到一個字符就以此為中心，往兩邊拓展，看左右字符串是否相等。但是回文有兩種類型，一種為奇數，一種偶數，如下：
奇數回文：aba
偶數回文：abba
所以要分成2種情況。算法時間效率為O(n^2)
原文：
之前注冊過hihoCoder，現在看到推出編程字符串專題，有這個題目，自己寫一下。
回文是指正着讀和倒着讀，結果一些樣，比如abcba或abba。
題目是要在一個字符串中要到最長的回文子串。
1、暴力法
最容易想到的就是暴力破解，求出每一個子串，之后判斷是不是回文，找到最長的那個。
求每一個子串時間復雜度O(N^2)，判斷子串是不是回文O(N)，兩者是相乘關系，所以時間復雜度為O(N^3)。
string findLongestPalindrome(string &s) { int length=s.size();//字符串長度 int maxlength=0;//最長回文字符串長度 int start;//最長回文字符串起始地址 for(int i=0;i<length;i++)//起始地址 for(int j=i+1;j<length;j++)//結束地址 { int tmp1,tmp2; for(tmp1=i,tmp2=j;tmp1<tmp2;tmp1++,tmp2--)//判斷是不是回文 { if(s.at(tmp1)!=s.at(tmp2)) break; } if(tmp1>=tmp2&&j-i>maxlength) { maxlength=j-i+1; start=i; } } if(maxlength>0) return s.substr(start,maxlength);//求子串 return NULL; }
2、動態規划
回文字符串的子串也是回文，比如P[i,j]（表示以i開始以j結束的子串）是回文字符串，那么P[i+1,j-1]也是回文字符串。這樣最長回文子串就能分解成一系列子問題了。這樣需要額外的空間O（N^2)，算法復雜度也是O(N^2)。
首先定義狀態方程和轉移方程：
P[i,j]=0表示子串[i,j]不是回文串。P[i,j]=1表示子串[i,j]是回文串。
P[i,i]=1
P[i,j]｛=P[i+1,j-1],if(s[i]==s[j])
=0 ,if(s[i]!=s[j])
string findLongestPalindrome(string &s) { const int length=s.size(); int maxlength=0; int start; bool P[50][50]={false}; for(int i=0;i<length;i++)//初始化准備 { P[i][i]=true; if(i<length-1&&s.at(i)==s.at(i+1)) { P[i][i+1]=true; start=i; maxlength=2; } } for(int len=3;len<length;len++)//子串長度 for(int i=0;i<=length-len;i++)//子串起始地址 { int j=i+len-1;//子串結束地址 if(P[i+1][j-1]&&s.at(i)==s.at(j)) { P[i][j]=true; maxlength=len; start=i; } } if(maxlength>=2) return s.substr(start,maxlength); return NULL; }
3、中心擴展
中心擴展就是把給定的字符串的每一個字母當做中心，向兩邊擴展，這樣來找最長的子回文串。算法復雜度為O(N^2)。
但是要考慮兩種情況：
1、像aba，這樣長度為奇數。
2、想abba，這樣長度為偶數。
string findLongestPalindrome(string &s) { const int length=s.size(); if(length == 1)return s; if(length == 0)return NULL; int maxlength=0; int start; for(int i=0;i<length;i++)//長度為奇數 { int j=i-1,k=i+1; while(j>=0&&k<length&&s.at(j)==s.at(k)) { if(k-j+1>maxlength) { maxlength=k-j+1; start=j; } j--; k++; } } for(int i=0;i<length;i++)//長度為偶數 { int j=i,k=i+1; while(j>=0&&k<length&&s.at(j)==s.at(k)) { if(k-j+1>maxlength) { maxlength=k-j+1; start=j; } j--; k++; } } if(maxlength>0) return s.substr(start,maxlength); return NULL; }
4、Manacher法
Manacher法只能解決例如aba這樣長度為奇數的回文串，對於abba這樣的不能解決，於是就在里面添加特殊字符。我是添加了“#”，使abba變為a#b#b#a。這個算法就是利用已有回文串的對稱性來計算的，具體算法復雜度為O(N)，我沒看出來，因為有兩個嵌套的for循環。
具體原理參考這里。
測試代碼中我沒過濾掉“#”。
#define min(x, y) ((x)<(y)?(x):(y)) #define max(x, y) ((x)<(y)?(y):(x)) string findLongestPalindrome3(string s) { int length=s.size(); for(int i=0,k=1;i<length-1;i++)//給字符串添加 # { s.insert(k,"#"); k=k+2; } length=length*2-1;//添加#后字符串長度 int *rad=new int[length](); rad[0]=0; for(int i=1,j=1,k;i<length;i=i+k) { while(i-j>=0&&i+j<length&&s.at(i-j)==s.at(i+j)) j++; rad[i]=j-1; for(k=1;k<=rad[i]&&rad[i-k]!=rad[i]-k;k++)//鏡像,遇到rad[i-k]=rad[i]-k停止，這時不用從j=1開始比較 rad[i+k]=min(rad[i-k],rad[i]-k); j=max(j-k,0);//更新j } int max=0; int center; for(int i=0;i<length;i++) { if(rad[i]>max) { max=rad[i]; center=i; } } return s.substr(center-max,2*max+1); }