【DWT筆記】基於小波變換的降噪技術
一、前言
在現實生活和工作中，噪聲無處不在，在許多領域中，如天文、醫學圖像和計算機視覺方面收集到的數據常常是含有噪聲的。噪聲可能來自獲取數據的過程，也可能來自環境影響。由於種種原因,總會存在噪聲，噪聲的存在往往會掩蓋信號本身所要表現的信息，所以在實際的信號處理中，常常需要對信號進行預處理，而預處理最主要的一個步驟就是降噪。
小波分析是近年來發展起來的一種新的信號處理工具，這種方法源於傅立葉分析，小波（wavelet），即小區域的波，僅僅在非常有限的一段區間有非零值，而不是像正弦波和余弦波那樣無始無終。小波可以沿時間軸前后平移，也可按比例伸展和壓縮以獲取低頻和高頻小波，構造好的小波函數可以用於濾波或壓縮信號，從而可以提取出已含噪聲信號中的有用信號。
二、小波去噪的原理
從信號學的角度看 ,小波去噪是一個信號濾波的問題。盡管在很大程度上小波去噪可以看成是低通濾波 ,但由於在去噪后 ,還能成功地保留信號特征 ,所以在這一點上又優於傳統的低通濾波器。由此可見 ,小波去噪實際上是特征提取和低通濾波的綜合 ,其流程圖如下所示：
一個含噪的模型可以表示如下：
其中 ,f( k)為有用信號,s(k)為含噪聲信號,e(k)為噪聲,ε為噪聲系數的標准偏差。
假設，e(k)為高斯白噪聲,通常情況下有用信號表現為低頻部分或是一些比較平穩的信號,而噪聲信號則表現為高頻的信號,我們對 s(k)信號進行小波分解的時候,則噪聲部分通常包含在HL、LH、HH中,如下圖所示，只要對HL、LH、HH作相應的小波系數處理,然后對信號進行重構即可以達到消噪的目的。
我們可以看到，小波去噪的原理是比較簡單類，類似以往我們常見的低通濾波器的方法，但是由於小波去找保留了特征提取的部分，所以性能上是優於傳統的去噪方法的。
三、小波去噪的基本方法
一般來說， 一維信號的降噪過程可以分為 3個步驟
信號的小波分解。選擇一個小波並確定一個小波分解的層次N，然后對信號進行N層小波分解計算。
小波分解高頻系數的閾值量化。對第1層到第N層的每一層高頻系數（三個方向）， 選擇一個閾值進行閾值量化處理．
這一步是最關鍵的一步，主要體現在閾值的選擇與量化處理的過程，在每層閾值的選擇上matlab提供了很多自適應的方法， 這里不一一介紹，量化處理方法主要有硬閾值量化與軟閾值量化。下圖是二者的區別：
上面左圖是硬閾值量化，右圖是軟閾值量化。采用兩種不同的方法，達到的效果是，硬閾值方法可以很好地保留信號邊緣等局部特征，軟閾值處理相對要平滑，但會造成邊緣模糊等失真現象。
信號的小波重構。根據小波分解的第 N層的低頻系數和經過量化處理后的第1層到第N 層的高頻系數，進行信號的小波重構。
四、仿真實驗
在這里，我采用lena的256*256的標准圖進行分析，采用 coif2的兩層小波分解，並從三個方向上對小波系數進行軟閾值量化，為了方便起見，閾值的選擇我采用手動設定的方法，最后對圖像進行小波重構，后面部分會給出重構的效果圖和相應的峰值信噪比。代碼如下：
1 clear; 2 clc; 3 X=imread('lena256.bmp'); 4 %X=rgb2gray(X); 5 figure(1); 6 subplot(121); 7 imshow(X); 8 title('原始圖像'); 9 X=double(X); 10
11 XX=X+10*randn(size(X)); 12 subplot(122); 13 imshow(uint8(XX)); 14 title('含噪圖像'); 15
16 [c,l]=wavedec2(XX,2,'coif2'); 17
18 n=[1,2]; 19 p=[10.28,10.08]; 20
21 nc_h=wthcoef2('h',c,l,n,p,'s'); 22
23 X1=waverec2(nc_h,l,'coif2'); 24 figure(2); 25 subplot(131); 26 imshow(uint8(X1)); 27 title('第一次消噪后的圖像'); 28
29
30 nc_v=wthcoef2('v',nc_h,l,n,p,'s'); 31
32 X2=waverec2(nc_v,l,'coif2'); 33 subplot(132); 34 imshow(uint8(X2)); 35 title('第二次消噪后的圖像'); 36
37
38 nc_d=wthcoef2('d',nc_v,l,n,p,'s'); 39
40 X3=waverec2(nc_d,l,'coif2'); 41 subplot(133); 42 imshow(uint8(X3)); 43 title('第三次消噪后的圖像'); 44
45 psnr0=psnr(X,XX); 46 psnr1=psnr(X,X1); 47 psnr2=psnr(X,X2); 48 psnr3=psnr(X,X3);
下面給出運行的效果圖，為了顯示方便，我重新排版了下，下圖是原圖和加噪后的圖像：
下面給出去噪的效果圖：
信噪比數據為：
1 psnr0 =
2 28.1782
3
4 psnr1 =
5 29.1551
6
7 psnr2 =
8 30.0441
9
10 psnr3 =
11 31.6952
為了增加實驗室可信度，可以寫一個簡單的基於DCT變換的低通濾波器的去噪的方法，如下所示：
1 clear; 2 clc; 3
4 X=imread('lena256.bmp'); 5 %X=rgb2gray(X); 6 figure(1); 7 subplot(141); 8 imshow(X); 9 title('原始圖像'); 10 % 生成含噪圖像並圖示 11 X=double(X); 12
13 % 添加隨機噪聲 14 XX=X+10*randn(size(X)); 15
16 Y1=dct2(XX); 17
18 [m,n]=size(Y1) 19 for i=1:m 20 for j=1:n 21 if abs(Y1(i,j))<20 %這個閾值要根據實際情況設定
22 Y1(i,j)=0; 23 end 24 end 25 end 26
27 YY1=idct2(Y1); 28 subplot(142) 29 imshow(uint8(XX)); 30
31 subplot(143) 32 imshow(uint8(YY1)); 33
34 psnr0=psnr(X,XX) 35 psnr4=psnr(X,YY1)
運行的效果圖為：
運行的結果為：
1 psnr0 =
2
3 28.1068
4
5
6 psnr4 =
7
8 28.6162
由此，我們可以看出，小波變換去噪能力還是比較突出的。
五、小結
離散小波變換（DWT）在圖像處理中的運用還是十分廣泛的，去噪只是其中一個。有時間會跟大家一起總結下其他的應用。
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